Приложение смешанного произведения

1) Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех векторах как на ребрах.

V_парал= │abc│

Из геометрии V_парал= S_осн· h

S_осн= S_квад= │ a´b │ из приложения векторного произведения.

h= │с││cos φ│

V_парал= │ a´b ││c││cos φ│=│(a´b) · с │=│abc│

Следствие: высота параллелепипеда h=

2) Из геометрии V_тетр= V_парал=│abc│

V_тетр= S_осн· h

h_тетр=

3) Если смешанное произведение abc>0, то тройка векторов правая, если abc<0, то тройка векторов левая.

abc= (a´b) · с = │ a´b ││c││cos φ│

abc>0, cos φ >0, Ðj- острый, abc- правая тройка

abc<0, cos φ <0, Ðj- тупой, abc- левая тройка

4) abc- коллинеарные (║ одной плоскости или лежат в одной плоскости), abc=0- условие коллинеарности трех векторов.

a´b ^ плоскости α

a´b ^ с, (a´b) · с = 0 (условие перпендикулярности двух векторов), abc=0

Пр. Лежат ли четыре точки A(2, -1, 3), B(4, 0, 1), C(5, -1, 2), D() в одной плоскости?