Координаты вектора в данном базисе. Операции с векторами в координатной форме

Рассмотрим в ЛП размерности n базис l₁, l₂,...,l_n. Любой вектор ЛП разлагается в линейную комбинацию базисов. х = α₁ l₁+ α₂ l₂+... +α_n l_n (по теореме о разложении по базису), х Є ЛП.

Опр. Упорядоченный набор чисел, участвующий в разложении вектора по базису (α_1, α_2,… α_n) называется координатами этого вектора в данном базисе.

х =(α_1, α_2,… α_n) – координаты вектора ЛП.

Операции:

1) для того, чтобы сложить два вектора ЛП в координатной форме нужно сложить их соответствующие координаты.

Док-во: Возьмем два вектора ЛП.

+

х =(α_1, α_2,… α_n)= α₁ l₁+ α₂ l₂+... +α_n l_n

у = (β_1, β₂, … β_n)= β₁ l₁+ β₂l₂+…+β_n l_n

х + у = (α₁ β₁, α₂ β_2,… α_n β_n) = (α₁ + β₁)l₁+(α₂ + β₂)l₁+…+(α_n β_n)l₁

2) чтобы вектор в координатной форме умножить на число нужно каждую координату умножить на это число.

Док-во: х =(α_1, α_2,… α_n)= α₁ l₁+ α₂ l₂+... +α_n l_n

λх = (λ₁α_1, λ₂α_2,… λ_nα_n)= λ₁α₁ l₁+ λ₂α₂ l₂+... +λ_nα_n l_n