Методичні поради

В першу чергу потрібно навчитися застосовувати табличні інтеграли з параметрами. Зручно користуватися детальними таблицями інтегралів, в яких пошук ведеться за типом підінтегральної функції..

Під безпосереднім інтегруванням розуміють знаходження невизначеного інтеграла шляхом перетворення його до табличного за допомогою основних правил інтегрування і тотожних перетворень підінтегральної функції (див. приклади 1-10).

Безпосереднє інтегрування часто спирається на властивість інваріантності форми інтеграла: якщо первісна для функції , то для будь-якої диференційованої функції (див. приклади 1-13). Цей спосіб часто називають підведенням під знак диференціала (див. приклади 2.1-2.7). Особливу увагу заслуговує властивість , яка пов'язана з лінійним перетворенням аргументу . Ця проста властивість часто застосовується при безпосередньому інтегруванні. Остання формула розширює основну таблицю інтегралів, наприклад

; ; ,

але її можна застосовувати безпосередньо (див. приклади 2.8-2.10).

Метод підстановки, або метод заміни змінної, – один з основних прийомів інтегрування функцій. Слід звернути увагу на те, що можна використовувати підстановки двох видів:

1) змінна інтегрування заміняється функцією змінної : ,

(див. приклад 1)

2) нова змінна вводиться як функція змінної інтегрування : ,

(див. приклад 2 та приклади 1-4)

Останню підстановку зручно застосовувати, якщо підінтегральний вираз містить диференціал або похідну функції з точністю до сталого множника (див. приклади 10-13).

Якщо інтеграл, отриманий після заміни змінної, став "простіше" даного (перетворений у табличний або в інтеграл, який можна привести до табличного), то мета підстановки досягнута. Після інтегрування функції по змінній необхідно повернутися до колишньої змінної , виразивши через по формулі, що застосовувалася при підстановці.

Окремо треба розглянути інтеграли від дробів та функцій, що містять квадратний тричлен (див. приклади 1-13).

Перш ніж приступати до інтегрування частинами треба добре засвоїти типи інтегралів, які обчислюють цим методом і рекомендації до застосування цього методу (див. приклади 1-6). Практичне застосування формули інтегрування частинами пов'язане з проблемою правильної розбиття підінтегрального виразу на співмножники і . Відзначимо, що формулу інтегрування частинами, як правило, зручно застосовувати, якщо підінтегральна функція є добутком многочлена на показникову, тригонометричну або логарифмічну функцію (див. приклади 1-2).

Окремо розглядається інтегрування раціональних дробів. Треба знати, що будь-який неправильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу. Для цього треба навчитися ділити многочлени (див. приклад). Далі потрібно навчитися чітко розрізняти найпростіші (елементарні) раціональні дроби та їх інтегрування. Це важливо, тому що будь-який правильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми найпростіших дробів. Коефіцієнти цієї суми знаходять методом невизначених коефіцієнтів. Вигляд суми визначається трьома практично важливими випадками:

1) корені знаменника дійсні різні числа (див. приклад 1)

2) корені знаменника дійсні числа, але деякі з них кратні (див. приклади 2 і 4)

3) корені знаменника дійсні числа, але деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен з від'ємним дискримінантом (див. приклади 3 і 5)

Розглядаючи інтегрування тригонометричних функцій обмежуються випадками, коли заміною змінної інтеграл можна звести до табличного або інтеграла від раціональної функції (див. приклади 32.1-32.5). Використання різних підстановок для інтегрування тригонометричних функцій дано у прикладах 1-23.

Розглядаючи інтегрування ірраціональних функцій обмежуються випадками, коли заміною змінної інтеграл можна звести до табличного (див. приклади 33.1-32.3) або інтеграла від раціональної функції (див. приклади 33.4-33.5). Для інтегрування деяких ірраціональних функцій застосовують тригонометричні підстановки (див. приклади 33.6-33.7). Для інтегралів від диференціального бінома застосовують підстановки Чебишева (див. приклад 33.8).