Методичні поради. Вивчення теми корисно почати з основних понять теорії множин, зокрема знати числові проміжки та околи точок

Вивчення теми корисно почати з основних понять теорії множин, зокрема знати числові проміжки та околи точок.

Потрібно чітко засвоїти найважливіше поняття математичного аналізу – функції, вміти знаходити область її визначення, знати способи завдання функції: аналітичний, графічний, табличний, та властивості функцій: обмеженість, монотонність, парність.

Основним є поняття композиції функцій або складеної функції.

Границю числової послідовності знаходять за означенням, яке спирається на поняття нескінченно малої послідовності. Якщо алгебраїчними перетвореннями вдається записати n-й член послідовності як суму деякого числа і нескінченно малої послідовності, то саме це число і є границею числової послідовності. Інколи вдається вловити закономірність послідовності та вгадати її границю. Але потім потрібно відняти це число від n-го члена послідовності та переконатися, що ця різниця є нескінченно малою послідовністю.

Є два означення границі функції: Гейне та Коші. Перше означення спирається на поняття границі числової послідовності, а друге використовує поняття околу точки. Якщо функція елементарна і граничне значення аргументу належить її області визначення, то обчислення границі функції зводиться до простої підстановки граничного значення аргументу. Якщо ж аргумент прямує до числа, яке не належить області визначення функції, або до нескінченності, то необхідні спеціальні дослідження. Наприклад, можна спробувати обчислити односторонні границі функції в точці. Якщо вони однакові, то їх спільне значення є границею функції.

Практично важливими є границі відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих. Загальний підхід до обчислення таких границь полягає у визначенні порядків нескінченно малих або нескінченно великих в чисельнику і знаменнику дробу окремо. Якщо порядки чисельника і знаменника однакові, то границею функції є число. В іншому випадку дріб є нескінченно малою або нескінченно великою величиною. Наприклад,

1)

2)

В окремих випадках слід використовувати чудові границі: першу або другу в двох формах запису

,

Бажано виписати і користуватися, в разі необхідності, границями, які є наслідками першої і другої чудових границь та еквівалентними нескінчено малими.

Поряд з інтуїтивним уявленням треба знати означення неперервності функції в точці і на проміжку, властивості неперервних функцій, а також те, що всяка елементарна функція неперервна в кожній точці області визначення і може мати розрив лише на межі області визначення.

Неелементарні функції можуть мати розриви як в точках, де вони невизначені, так і в таких, де вони визначені. Зокрема, якщо функція задана кількома формулами, то вона може мати розриви в точках, де змінюється її аналітичний вираз. Характер розриву встановлюють обчисленням односторонніх границь в даній точці.