Стоячие волны, их суперпозиция

Определим физический смысл полученного решения (4.2.9). Для этого выясним какой физический процесс описывает частное решение

Умножим правую часть этого выражения на величину . Обозначим числитель , а знаменатель внесём за скобки, почленно поделив слагаемые:

Используя основное тригонометрическое тождество, легко доказать, что и являются, соответственно, синусом и косинусом некоторого угла , Тогда:

Свернём выражение, стоящее в квадратных скобках, воспользовавшись формулой синуса суммы углов:

Рис.1091

Полученное выражение представляет собой уравнение стоячей волны. Это значит, что все точки струны совершают гармонические колебания с одной и той же частотой и амплитудой . В точках с координатами амплитуда колебаний , следовательно, точки остаются неподвижными — это узлы стоячей волны. Узлы разбивают струну на участков, середины которых — пучности стоячей волны — колеблются с максимальной амплитудой (рис.10).

Рис.11091

Наименьшая собственная частота называется частотой основного тона. Кратные частоты называют гармониками или обертонами. Для каждой гармоники наибольшая амплитуда колебаний будет определяться её номером и начальными условиями (4.2.3), так как и , в свою очередь, определяются начальной формой струны и начальной скоростью её точек. На рис.11 показан характерный спектр колебаний струны.

Поскольку общее решение , то следует понимать, что решение (4.2.9) представляет собой суперпозицию стоячих волн с кратными частотами. Решение (4.2.9), записанное в виде

означает, что струна излучает музыкальную ноту с частотой ; совокупность амплитуд характеризует спектр ноты (тембр звука), определяемый начальными условиями (4.2.3).

4.3. Решение задачи Коши для одномерного уравнения
теплопроводности

Решим задачу о распространении тепла в тонком длинном теплопроводящем стержне, теплоизолированном от внешней среды. Этот процесс описывается одномерным уравнением теплопроводности

(4.3.1)

Будем считать стержень настолько длинным, что можно не учитывать температурные условия на его концах. В этом случае стержень можно считать бесконечным, и граничные условия можно не учитывать. Пусть в начальный момент времени распределение температуры в стержне задано функцией

.

(4.3.2)

Тогда описание процесса распространения тепла в стержне будет сводиться к решению задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности (4.3.1) при начальных условиях (4.3.2). Будем искать её решение методом Фурье:

(4.3.3)

Аналогично тому, как это было сделано в п. 4.2., разделим уравнение (4.3.1) на два уравнения:

где — параметр разделения. Отсюда:

Первое уравнение системы решается следующим образом:

Взяв интеграл от обеих частей, получим:

Решение второго уравнения системы:

Таким образом:

где — некоторые произвольные постоянные. Подставив полученные решения в (4.3.3), получим частное решение уравнения (4.3.1.):

Можно заметить, что для любого значения полученное частное решение будет являться решением уравнения (4.3.1). Следовательно, коэффициенты , и могут быть произвольными коэффициентами от . Обозначим , . Тогда, семейство частных решений уравнения теплопроводности (4.3.1.) имеет вид:

(4.3.4)

Поскольку а уравнение (4.3.1) линейное и однородное, то суперпозиция частных решений (4.3.4):

(4.3.5)

Функции и должны быть такими, чтобы выполнялось начальное условие (4.3.2). При множитель становится равным единице, а функция обращается в . Тогда:

(4.3.6)

Из математического анализа известно, что обобщением ряда Фурье для всей числовой оси является интегральная формула Фурье:

(4.3.7)

где коэффициенты и находятся по формулам

Подставим коэффициенты и в интегральную формулу Фурье:

Внесём и под знак интеграла, и, воспользовавшись формулой косинуса разности углов, свернём полученное выражение:

(4.3.8)

Из сравнения (4.3.5) и (4.3.7), и с учётом (4.3.8), следует, что решением (4.3.1), удовлетворяющим начальным условиям, будет функция:

Упростим полученное решение. Учитывая чётность функции косинуса, запишем:

Из математического анализа известно, что:

С учётом последней формулы, общее решение уравнения теплопроводности (4.3.1), удовлетворяющее начальному условию (4.3.2), имеет вид:

(4.3.9)

Полученное решение (4.3.9) называется формулой Пуассона.