Вывод уравнения колебаний струны

Будем понимать под струной однородную гибкую упругую нить с постоянной линейной плотностью. Пусть струна, длиной натянута и закреплена в точках и (рис.7). Если струну отклонить от её первоначального положения и отпустить, то она будет совершать поперечные колебания возле положения равновесия.

Рис.761

Будем рассматривать малые отклонения точек струны. Можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси в одной плоскости. При этом процесс колебаний описывается функцией , определяющей отклонение точки с координатой в момент времени . Функция определяет положение струны в любой момент времени (профиль струны).

Малость отклонения точек струны понимается в следующем
смысле.

1) Угол между касательной к произвольной точке и осью мал настолько, что его синус примерно равен его тангенсу: .

2) Изменение силы упругости, возникающее вследствие дополнительной деформации, мало по сравнению с силой натяжения струны в положении равновесия. Иными словами будем считать силу натяжения струны в процессе колебаний постоянной.

Рис.8

Рассмотрим малый участок струны , массой , — линейная плотность (рис.8). Длина рассматриваемого участка струны примерно равна в силу малости отклонения.

Равнодействующая сил и , действующих на участок , сообщает ему ускорение Тогда из второго закона Ньютона:

С учётом малости отклонений заменим в уравнении , . Учтём также, что в силу однородности струны . Из геометрического смысла производной следует, что ; .

Отсюда,

По теореме Лагранжа о среднем значении:

С учётом этого,

Сократив на , и поделив обе части уравнения на получим:

Обозначим Тогда уравнение колебаний струны примет вид:

где — скорость распространения упругой волны по струне.