Струны методом Даламбера

Пусть струна является настолько протяжённой, что за интересующее нас время колебание, вызванное отклонением точек некоторого среднего участка струны, не успевает достигнуть её концов. В этом случае граничные условия можно не учитывать. Это задача Коши о бесконечной струне.

Решение задачи сводится к решению уравнения колебаний струны

(4.1.1)

при начальных условиях:

,

(4.1.2)

Метод Даламбера — это метод бегущих волн. Будем искать решение в виде:

(4.1.3)

где — любые дважды дифференцируемые функции от и . Решение в виде (4.1.3) означает, что реальная форма струны в каждый момент времени может быть представлена суперпозицией волн, бегущих навстречу друг другу с одинаковой скоростью .

Проверим, что (4.1.3) является решением уравнения (4.1.1). Для этого найдём частные производные функции (4.1.3) по и :

Заменяя в последней производной выражение, стоящее в квадратных скобках, на значение второй производной по координате , получим: .

Подставляя последнее выражение в уравнение (4.1.1), получим верное тождество. Это означает, что функция вида (4.1.3) удовлетворяет условию решения уравнения колебаний струны (4.1.1). Решение уравнения (4.1.1) в виде (4.1.3) называют решением Даламбера.

Определим функции и из начальных условий. В начальный момент времени :

Таким образом, для нахождения и необходимо решить систему уравнений:

(4.1.4)

Для упрощения второго уравнения системы найдём от его правой и левой частей интеграл с переменным верхним пределом:

Поделив обе части на , и подставив верхний и нижний пределы в левой части, получим:

Обозначим . Тогда:

Таким образом, система (4.1.4) приобретает вид:

Поочерёдно складывая и вычитая уравнения, выразим функции и

Заменим в полученных значениях и аргумент соответственно на и . Получим:

Подставим полученные значения в решение Даламбера (4.1.3), и, после упрощения выражения, получим формулу Даламбера:

(4.1.5)

Полученная формула (4.1.5) является решением уравнения колебаний струны (4.1.1), полностью удовлетворяющим начальным условиям (4.1.2).

4.2. Решение смешанной задачи о колебаниях конечной струны
с закреплёнными концами методом Фурье

Рассмотрим задачу в свободных колебаниях струны, закреплённой на обоих концах. Она сводится к решению уравнения колебаний струны

(4.2.1)

при граничных условиях

(4.2.2)

и начальных условиях

,

(4.2.3)

Это смешанная задача о колебаниях закреплённой струны. Будем решать её методом Фурье.

Метод Фурье — метод разделения переменных. Его суть сводится к тому, что искомую функцию, зависящую от нескольких переменных, представляют в виде произведения нескольких функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. В нашем случае функцию представляют в виде произведения двух функций: , зависящей только от координаты , и , зависящей только от времени

(4.2.4)

Выясним, при каких условиях уравнение колебаний струны (4.2.1) разрешимо в виде (4.2.4). Для этого подставим (4.2.4) в уравнение (4.2.1). Учитывая, что и , получим:

В полученном выражении разделим правую и левую части на :

Анализируя полученное выражение можно прийти к выводу, что его левая часть точно не зависит от , а правая — не зависит от . Следовательно, отношения и не зависит ни от ни от . Это возможно лишь в том случае, если эти отношения равны одной и той же постоянной величине. Обозначим её как :

(4.2.5)

где — параметр разделения. Таким образом, мы приходим к выводу, что уравнение колебаний струны (4.2.1) разрешимо в виде (4.2.4) в том случае, если выполняется условие (4.2.5).

Условие (4.2.5) позволяет разделить дифференциальное уравнение в частных производных (4.2.1) на два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений получим решение этих уравнений в виде:

где — некоторые неизвестные постоянные интегрирования.

Подставим полученные решения в выражение (4.2.4):

Таким образом, дальнейшее решение уравнения колебаний струны методом Фурье сводится к нахождению значений и , удовлетворяющих начальным и граничным условиям.

Учтём граничные условия (4.2.2):

Полученное значение называют собственным значением для данной краевой задачи, а соответствующие им функции — собственными функциями.

С учётом полученных значений, частное решение уравнения колебаний струны (4.2.1), удовлетворяющее граничным условиям примет вид:

Обозначим: и . Тогда:

Так как уравнение (4.2.1) однородное и линейное, то сумма его решений также является его решением:

Отсюда:

(4.2.6)

Подберём числа и так, чтобы решение (4.2.6) удовлетворяло начальным условиям (4.2.3).

Из условия, что , следует, что:

что представляет собой разложение функции в ряд Фурье по синусам, где коэффициент рассчитывается как:

(4.2.7)

Из условия, что , следует, что:

что представляет собой разложение функции в ряд Фурье по синусам, где коэффициент рассчитывается как:

(4.2.8)

Таким образом, решение уравнения (4.2.1) полностью удовлетворяющее всем граничным (4.2.2) и начальным условиям (4.2.3), имеет вид:

(4.2.9)

где , и выражаются по формулам (4.2.7) и (4.2.8).