Вывод уравнения теплопроводности

Рис.91

Пусть на оси лежит однородный стержень, теплоизолированный от внешней среды (рис.9). Если в начальный момент времени с увеличением температура уменьшалась, то с течением времени будет происходить процесс теплопередачи в положительном направлении оси .

Будем описывать этот процесс функцией , определяющей температуру в сечении стержня с координатой в момент времени .

Определим физический смысл её первых частных производных по координате и времени :

— быстрота изменения температуры в данном сечении;

— значение градиента температуры в данный момент времени.

Выберем в стержне произвольно два сечения с координатами и . Количество теплоты, проходящее через сечение стержня с координатой , определяется эмпирическим законом Фурье для теплопроводности:

где — коэффициент теплопроводности, — площадь сечения стержня, — время. Количество теплоты, проходящее через сечение стержня с координатой :

За одно и тоже время на участок стержня входит тепла , выходит . Их разность идёт на повышение температуры участка стрежня:

Будем считать участок стержня столь малым, что в каждый момент времени температура в каждом его сечении одинакова. Тогда за время , температура в каждой точке участка увеличится на .

Количество теплоты, необходимое для этого:

С учётом теоремы о среднем, получим:

По закону сохранения энергии:

где — коэффициент температуропроводности.

Для унификации записи уравнений обозначим . Тогда, одномерное уравнение теплопроводности примет вид: