Производных второго порядка

В общем случае линейное дифференциальное уравнение в частных производных функции имеет вид:

(3.2.1)

где A, B, C, D, E, F, G — известные непрерывные функции от x и y (в частном случае — постоянные коэффициенты).

Если , уравнение (3.2.1) называют однородным, при — неоднородным.

Назовём величину дискриминантом уравнения (3.2.1).

Если в заданной области:

1) , то уравнение (3.2.1) относится к уравнениям гиперболического типа;

2) , то уравнение (3.2.1) относится к уравнениям параболического типа;

3) , то уравнение (3.2.1) относится к уравнениям эллиптического типа.

На сегодняшний день все известные физические задачи сводятся к решению уравнений указанных трёх типов. Для каждого из типов дифференциальных уравнений разработаны определённые методы их решения, известны характерные свойства соответствующих решений.