Тензор инерции

В физике понятие момента инерции тела относительно некоторой оси определяется как величина равная сумме произведений масс всех его точек на квадрат расстояния от них до этой оси:

Для каждого тела существует бесконечное множество значений момента инерции. Инвариант, характеризующий инертные свойства тел, представляет собой тензор второго ранга — тензор инерции:

где тензор определяется как

.

В частности, тензор инерции сплошного диска радиуса и массой относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно диску и совпадающей с координатной осью , может быть записан как

Скалярный и векторный инварианты

тензор–производной векторного поля

Как уже было сказано ранее, инвариантной дифференциальной характеристикой векторного поля является тензор вида:

Выделим в этом тензоре два инварианта, имеющих важное значение для физических приложений.

Дивергенцией векторного поля называется скалярная функция

Ротором векторного поля называется векторная функция

Свойства дивергенции:

1) , если ;

2) ;

3)

Свойства ротора:

1) , если ;

2) ;

3) .

Если , то поле называют безвихревым или потенциальным. Для такого поля справедливо , где — потенциал векторного поля .

Если , то поле называется вихревым или соленоидальным.

Дифференциальные характеристики векторного поля могут быть однозначно описаны, если одновременно известны дивергенция и ротор этого поля.

2.5. Поток векторного поля. Теорема Остроградского–Гаусса

Рис.51

Пусть задано векторное поле . Выберем в этом поле малую площадку такую, что во всех её точках поле можно считать постоянным (рис.5).

Потоком векторного поля через площадку называется величина , где = , — нормаль к .

Поток векторного поля через поверхность может быть найден как Тогда потоком векторного поля называется величина

Если поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем , то поток векторного поля может быть найден по теореме Остроградского–Гаусса: