Производная по направлению. Градиент

Если в пространстве или любой части пространства каждой точке М сопоставлено значение скалярной величины , то говорят, что задано скалярное поле .

Примеры скалярных полей физических величин: поле плотности, поле давления, поле электростатического потенциала, поле температуры нагретого тела и т. д.

В общем случае скалярное поле представляет собой функцию трёх пространственных координат и времени В случае, когда поле не зависит от времени , скалярное поле называют стационарным (устоявшимся). Для простоты рассуждений при изучении основ математической теории поля будем рассматривать только стационарные поля.

Скалярные поля могут быть изображены геометрически с помощью поверхностей уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек пространства, в которых скалярная функция имеет некоторое постоянное значение.

Уравнение поверхности уровня имеет вид: где В случае двумерного поля поверхности уровня вырождаются в линии уровня.

Примерами поверхностей уровня являются, в частности, эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда, в поле температуры — изотермы (), в поле давлений — изобары ().

Рис.21

Пусть в некоторой области пространства задано скалярное поле . Для количественной характеристики быстроты изменения поля в окрестностях произвольной точки поля вводят понятие производной по направлению.

Пусть скалярное поле имеет в точке зачение (рис.2), а в точке , находящейся на расстоянии от в направлении — значение .

Производной скалярного поля в точке по направлению называется предел отношения приращения скалярного поля при смещении на вдоль к величине этого смещения, когда последнее стремится к нулю.

(2.1.1)

Рис.3232

В отличие от обычной производной значение производной по направлению зависит от выбора направления. Найдём алгоритм, позволяющий найти производную по направлению в точке, если заданы скалярное поле и некоторое направление.

Проведём через линию уровня, соответствующую значению . Построим также линию уровня, соответствующую большему значению поля (рис.3). Найдём производные по направлению нормали к линии уровня , и произвольному направлению ( — единичные).

По определению производной по направлению:

Из анализа рисунка и условий, что , видно, что . Учитывая это, можно показать, что:

(2.1.2)

Из анализа выражения (2.1.2) следует, что в любой точке поля производная по нормали к линии уровня больше производной по любому другому направлению. Таким образом, можно считать, что направление нормали определяет направление наибыстрейшего возрастания поля. Это направление выделяют особо, и связывают с ним понятие градиента скалярного поля.

Градиентом скалярного поля в точке называются вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания скалярного поля, модуль которого равен производной скалярного поля по этому направлению:

(2.1.3)

С учётом (2.1.3) и определения скалярного произведения векторов формула (2.1.2) перепишите в виде:

(2.1.4)

Из выражения (2.1.4) следует, что производная по произвольному направлению любому направлению равна проекции модуля градиента на это направление.

Найдём координаты градиента в декартовой системе координат. По формуле (2.1.4): , , . Следовательно, в декартовой системе координат:

(2.1.5)

Модуль градиента скалярного поля рассчитывается по формуле:

Координаты единичного вектора в декартовой системе координат (рис.3) могут быть определены как , , , где , , — направляющие косинусы направления

Как уже было показано в выражении (2.1.4): . Тогда, учитывая свойства скалярного произведения векторов, производная по направлению может быть найдена следующим образом:

(2.1.6)