Иванов Ю. В

Ю. В. Иванов

КРАТКИЙ КУРС

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебное пособие

Глазов

УДК 531.0

ББК 22.311

И20

Рецензенты:

В. А. Саранин, доктор физико-математических наук,
профессор (г. Глазов)

А. В. Проказов, кандидат физико-математических наук,
доцент (г. Глазов)

И20 Краткий курс математической физики: Учебное пособие / Ю.В. Иванов. – Глазов: ООО «Глазовская типография», 2012. – 48 с.

ISBN

В пособии приведён краткий обзор основных разделов математической физики. Предназначено для студентов физико-математических специальностей педагогических вузов.

ISBN УДК 531.0

ББК 22.311

© Иванов Ю.В., 2012

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ......................................................................... 5

1.1. Предмет и задачи математической физики. Прямая и обратная проблема 5

2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ...... 7

2.1. Скалярное поле. Поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент 7

2.2. Векторное поле. Векторная функция. Векторные линии........ 10

2.3. Дифференциальные характеристики скалярного и векторного полей 12

2.4. Элементы тензорного исчисления......................................... 13

2.5. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса....... 16

2.6. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса....................... 16

2.7. Вопросы для самопроверки.................................................... 17

3. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА............................................................................................... 19

3.1. Дифференциальные уравнения в частных производных......... 19

3.2. Типы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка 20

3.3. Вывод уравнения колебаний струны..................................... 21

3.4. Вывод уравнения теплопроводности..................................... 23

3.5. Классификация задач математической физики. Постановка

задач математической физики, условие корректности........... 24

3.6. Вопросы для самопроверки................................................... 25

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ....................................................................... 27

4.1. Решение задачи Коши о свободных колебаниях струны

методом Даламбера............................................................... 27

4.2. Решение смешанной задачи о колебаниях конечной струны

с закреплёнными концами методом Фурье............................. 29

4.3. Решение задачи Коши для одномерного уравнения

теплопроводности.................................................................. 34

4.4. Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах методом
Фурье. Полиномы Лежандра. Понятия о сферических
и шаровых функциях............................................................ 38

4.5. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Понятие о функциях Бесселя 42

4.6. Понятие о методе функции Грина......................................... 43

4.7. Специальные функции.......................................................... 43

4.8. Вопросы для самопроверки................................................... 44

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................ 46