Связь между непрерывностью функции и существованием производной

Теорема: Если функция имеет конечную производную в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Док-во:

По определению производной: =

Обозначим

Тогда .

По теореме о представлении функции, имеющей предел:

, где ‒ б/м при .

при Δx→0.

По второму определению непрерывности, если б/м приращению аргумента соответствует б/м приращение функции, то непрерывна в точке х₀.

Ч.т.д.