Производная функции одной переменной

Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности. Дадим x₀ приращение Dx так, чтобы точка принадлежала указанной окрестности. Тогда функция получит приращение Dy. .

Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, то он называется производной функции f(x) в точке x₀.

.

Обозначают производную , , y', , .

Замечание: Если изменить x₀, то будет изменяться и производная функции в точке x₀, следовательно, производная функции тоже является функцией.

Пример: Найти по определению производную функции y=x².

Возьмем произвольную точку x, дадим приращение Dx, x®x+Dx. Функция получит приращение Dy: = = = .

Рассмотрим предел = =

Итак, производная .