Свойства непрерывных функций

1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией.

Док-во:

Докажем непрерывность суммы непрерывных функций.

Пусть f(x) и φ(x) непрерывны.

По первому определению непрерывности: , .

Рассмотрим

по первому определению сумма непрерывна в точке х₀.

Непрерывность произведения и частного непрерывных функций доказывается аналогично.

Ч.т.д.

2. У непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами.

Если f(x) ‒ непрерывная функция, то .

Док-во: По первому определению непрерывности

.

Ч.т.д.

3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения. y=xⁿ, y=sin x, y=e^x,…

Док-во:

а) y=const.

Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.

Тогда функция получит приращение:

.

, т.к. .

По второму определению непрерывности y=const непрерывна в своей области определения.

б) y=x.

Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.

.

По второму определению непрерывности:

.

y=x непрерывна в своей области определения.

в) y=sinx.

Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.

По второму определению непрерывности:

0 cosx

как произведение б/м на ограниченную функцию. y=sinx непрерывна при .

Ч.т.д.

4. Пусть функция x=x(t) непрерывна в точке t_0. Пусть функция y=y(x) непрерывна в точке x₀, где x₀=x(t₀). Тогда сложная функция y=y(x(t)) непрерывна в точке t₀.

Док-во:

Тогда по первому определению сложная функция непрерывна в точке х₀.

Ч.т.д.