Тема 11. Производная по направлению. Градиент

Производной функции в точке по направлению называется предел

где

если предел существует.

Если функция дифференцируема, то производная по направлению вычисляется по формуле

(1)

где – направляющие косинусы вектора

В частности, если – функция двух переменных, то формула (1) производной по направлению примет вид:

(2)

где – угол между вектором и осью Ох.

Градиентом функции в точке называется вектор

(3)

или, то же самое,

Связь между градиентом функции и производной по направлению устанавливает формула

где – угол между векторами и

Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшее значение производной достигаемое в направление градиента, равно

В частности, если – функция двух переменных, то