Тема 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция дифференцируема в точке некоторой области .

Проводя аналогичные рассуждения для сечения , построим касательную к кривой в точке . Прямые и определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке .

Составим ее уравнение. Так как плоскость проходит через точку , то ее уравнение может быть записано в виде

,

которое можно переписать так:

.

Разделив уравнение на и обозначив , получим

. (1)

Найдем и .

Уравнения касательных и имеют вид

;

соответственно.

Касательная лежит в плоскости , следовательно, координаты всех точек удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы

Разрешая эту систему относительно , получим, что .

Проводя аналогичные рассуждения для касательной , легко установить, что .

Подставив значения и в уравнение (1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:

. (2)

Определение. Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали:

. (3)

Если поверхность задана уравнением , то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции:

,

примут соответственно вид

и

.

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т.е. не особых, точек поверхности. Точка поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.