Тема 9. Экстремум функции двух переменных

Понятия локального и глобального экстремумов функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.

Пусть функция определена в некоторой области , точка .

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство .

На рисунке точка максимума, а точка минимума функции .   Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Определение 2. Аналогично определятся точка минимума функции: для всех точек , отличных от , из окрестности точки выполняется неравенство: .

Определение 3. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции.

Отметим, что в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к . В области функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

.

Геометрически равенства и означают, что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию , параллельна плоскости , т.к. уравнение касательной плоскости есть .

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке , но не имеет в этой точке частных производных.

Определение 1. Точка, в которой частные производные первого порядка функции равны нулю, т.е. , называется стационарной точкой функции .

Определение 2. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическим точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию . Для нее точка является критической (в ней и обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция не имеет, т.к. в достаточно малой окрестности точки найдутся точки для которых (точки I и III четвертей) и (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения , , . Обозначим

.

Тогда:

1) если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если ; минимум, если ;

2) если , то функция в точке экстремума не имеет;

3) в случае экстремум в точке может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.