Тема 6. Частные производные высших порядков

Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

;

;

;

.

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков

, и т.д.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.

Теорема (Шварца). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. В частности, для имеем: .