Тема 3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Тема 3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Составим полное приращение функции в точке :

.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (1)

где и при .

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом :

. (2)

Выражения и называют частными дифференциалами.

Для независимых переменных и полагают и . Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

. (3)

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и , причем , .

Равенство (1) можно записать в виде

, (4)

где при .

Отметим, что обратное утверждение не верно, т.е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Например, непрерывная функция не дифференцируема в точке .

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (3) принимает вид:

(5)

или

,

где – частные дифференциалы функции .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (5).

Отметим, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила вычисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

Из определения дифференциала функции следует, что при достаточно малых и имеет место приближенное равенство

(6)

Так как полное приращение , равенство (6) можно переписать в следующем виде:

(7)

Формулой (7) пользуются в приближенных расчетах.

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т.д.