Тема 5. Дифференцирование неявной функции

Функция называется неявной, если она задается уравнением

(1)

неразрешенным относительно . Найдем частные производные и неявной функции , заданной уравнением (1). Для этого, подставив в уравнение вместо функцию , получим тождество

.

Частные производные по и по функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

( считаем постоянным),

( считаем постоянным),

откуда

и , . (2)

Замечания.

1. Уравнение вида (1) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение определяет функции и , определенные в круге , , определенную в полукруге при и т.д., а уравнение не определяет никакой функции.

Теорема существования неявной функции двух переменных: если функция и ее производные , , определены и непрерывны в некоторой окрестности точки , причем , а , то существует окрестность точки , в которой уравнение (1) определяет единственную функцию , непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки и такую, что .

2. Неявная функция одной переменной задается уравнением . Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

().