![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нехай задана система рівнянь:
(1)
1). МЕТОД НЬЮТОНА.
По методу Ньютона послідовність наближень будують за формулою:
(2)
- матриця обернена до матриці Якобі. Для системи двох рівнянь з двома невідомими формули (2) наберуть вигляд:
,
.
.
За початкове наближення вибираємо точку, яка знаходиться якомога ближче до розв’язку.
2). МЕТОД ПРОСТОЇ ІТЕРАЦІЇ.
Нехай маємо систему:
(3)
або (
), яка рівносиль системі (1).
Ітерації будуємо користуючись формулою: (4)
Щоб звести f(x)=0 до () потрібно, щоб
.
Тоді .
У випадку функції двох змінних, отримаємо: ,
.
шукають з системи:
Зауваження: метод ітерації буде збіжним, якщо виконується умови:
або
.
Тоді оцінку похибки проводять за формулою: ,
де або
.
Розділ 3
§1
Постановка задачі інтерполяції
Нехай на сегменті [a;b] задана система (n+1) точок:
. Їх називають вузли інтерполяції. Задано також значення в цих точках деякої функції:
,
,…..,
. Потрібно побудувати деяку функцію
(інтерполяційну функцію), яка належить деякому класу функцій і таку, що:
,
,…..,
.
Геометрично це означає: потрібно побудувати деяку криву певного типу, яка проходить через задану систему точок. Ці точки називаються вузлами інтерполяції.
Отриману інтерполяційну функцію використовуємо для знаходження значень функції
в точках відмінних від вузлів інтерполяції. Така операція називається інтерполяція функцій.
Виділяють також поняття екстраполяції функції. Це той випадок, коли шукаємо значення функції
в точці, яка не належить [a;b].
§2
ІНТЕРПОЛЯЦІЙНА ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА.
На відрізку [a;b] задана система точок і задано значення функції в цих точках (
,
,
,…..,
). (1)
Потрібно побудувати поліном степеня не вище
,
, такий що:
,
.(2)
Спочатку побудуємо поліном , такий що
(3). Оскільки на [a;b] згаданий поліном має
нулів, тому цей поліном можна записати у вигляді:
.
Підставивши , отримаємо:
. (4)
Знайденні підставимо в (3)
Тоді:
. (5)
Будуємо многочлен (6)
або
.(7)
Очевидно, що степінь цього многочлена Лагранжа .
,
.
Формулу (7) можна записати в компактному вигляді:
,
.
Підставивши , отримаємо:
.
Врахувавши останні позначення, отримаємо:
.
При многочлен Лагранжа - пряма, яка проходить через точки
,
.
Приклад: для функції побудувати многочлен Лагранжа, взявши вузли інтерполяції
,
,
.
§3
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 432 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!