Метод простої ітерації розв’язування системи лінійних, алгебраїчних рівнянь

Нехай задано система рівнянь: (1)

Або (2).

Розв’яжемо кожне і-те рівняння відносно змінної . (3), або (4).

Виберемо початкове наближення і побудуємо послідовність за формулою (5).

Якщо отримана послідовність має границю, то ця границя є розв’язком (4), а отже й (2).

Зауваження: Для успішного застосування методу ітерації модулів ідеальних елементів системи (1) повинні бути великі в порівнянні з іншим модулем.

Зауваження: в якості початкового наближення вибирають вектор , хоча не обов’язково – можна брати довільний вектор. Тому процес ітерації має властивість самовиправлення, тобто окрема помилка в обчисленнях не впливає на кінцевий результат.

Твердження: Ітераційний метод буде збіжний, якщо матриці системи (1) всі діагональні елементи будуть більші за суму модулів усіх інших елементів відповідного рядка.

Теорема: якщо для системи (1) виконується одна з умов: , , то процес ітерації збігається до єдиного розв’язку системи не залежно від вибору початкового значення.

Наслідок: для системи (1) метод ітерації є збіжним якщо .

Для зведення системи (1) до вигляду зручного до застосування процесу ітерації можна робити так:

Звідси слідує правило за яким систему (1) зводять до виду (3) для подальшої побудови ітерації.

1. З системи (1) вибираємо рівняння в яких є коефіцієнти, модулі яких більші за суму модулів всіх інших коефіцієнтів цього рівняння. Кожне з таких рівнянь ставимо на те місце в системі щоб виділений елемент був діагональним.
2. З невикористаних і виділених рівнянь системи складаємо лінійно незалежні комбінації так, щоб зберігався заданий принцип.

§9