Доведення. Щоб скористатися принципом стискуючого відображення досить показати, що в деякому околі R кореня похідна функції

Щоб скористатися принципом стискуючого відображення досить показати, що в деякому околі R кореня похідна функції , задовільняє умову .

Підставимо : . Запишемо для f(x) формулу Тейлора і обмежимося 3-ма доданками, тобі: . Підставивши в останню рівність x=c, отримаємо: , оскільки при : то можна виділити такий окіл R:

§5

МЕТОД ДОТИЧНИХ (МЕТОД НЬЮТОНА)

Розглянемо геометричну інтерпритацію даного методу. Нехай маємо рівняння (1) і всі умови попереднього § виконуються. Беремо точку B, проводимо в ній дотичну.

Рівняння дотичної в точці має вигляд , знайдемо точку :

(2)

Зауваження: в якості вихідної точки слід вибирати той кінець відрізка [a,b] в якому функція має той самий знак, що і її друга похідна.

У випадку зображеному на малюнку послідовність монотонно спадає і обмежена знизу, а отже вона збіжна, тобто . Перейшовши до границі в рівності (2) отримаємо: В загальному випадку справедлива така теорема.

Відповідь про збіжність дає наступна теорема:

Теорема: нехай на відрізок [a,b] функція f(x) неперервна разом з своїми похідними другого порядку включно, які зберігають знак і не перетворюються в нуль і крім того f(a)f(b)<0. Тоді існує деякий окіл розв’язку рівняння (1) що з цього околу послідовність обчислена за формулою (2) збігається до кореня .