Уточнення коренів рівняння методом хорд

(МЕТОД ПРОПОРЦІЙНИХ ВІДРІЗКІВ)

Нехай дано рівняння . Залишимо в силі припущення попереднього параграфа. Розглянемо геометричну ітерацію методом хорд.

Мал.1 Мал.2

Виведемо рекурентну формулу для побудови наближення:

...

(2)

Доведемо збіжність даного процесу: послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, тому , в рівнянні (2) перейдемо до границі:

Зауваження: в загальному випадку за нерухому точку вибирають той кінець відрізка [a,b] в якому знак функції f співпадає з знаком другої похідної, тоді (2) буде:

, (3)

Другий кінець проміжка зручно вибирати за початкове наближення.

Виведемо формулу для оцінки точності. Нехай похідна неперервна на [a,b], тоді вона приймає найбільше і найменше значення, тобто , , =0, де - розв’язок рівняння. Застосуємо теорему Лагранжа: . Розкривши душки додавши до обох частин рівності вираз і звівши подібні доданки, отримаємо: . Врахувавши межі зміни похідної (4) (5).

Виникає питання про можливість використання оцінки (5), коли мінімум похідної =0.

Відповідь про збіжність послідовності отриманої за рекурентною формулою (3) дає наступну теорему:

Теорема: нехай на відрізку [a,b] функція f(x) неперервна разом зі своїми похідними до 2-го порядку включно, причому . Нехай також похідні зберігають на [a,b] сталі знаки, тобі існує такий окіл кореня , що для початкового наближення з цього околу послідовність (), яка обчислюється за формулою (3), збігається до .