Построение линии пересечения поверхностей второго порядка способом концентрических сфер

При пересечении поверхностей второго порядка линией пересечения в общем случае является пространственная кривая четвертого порядка, которая может распадаться на две плоские кривые второго порядка.

Данный метод применяется при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются и образуют

плоскость, параллельную одной из плоскостей проекций (П1или П2). В этом случае роль посредников выполняют сферы, центр которых выбирается в точке пересечения осей пересекающихся поверхностей вращения. Поскольку центр вспомогательной сферы расположен на оси поверхности вращения, то и сфера и поверхность вращения имеют общую параллель (окружность). Это свойство положено в основу метода сфер.

Поверхность вращения пересекает сфера (рис. 91). Оси поверхностей параллельны П2. Точка О – центр вращения обеих поверхностей, а также и центр пересечения этих поверхностей.

Оси поверхностей вращения совпадают,

поэтому линиями их пересечения могут быть только общие параллели (окружности). На чертеже таких точек две: M и N, и столько

же соответствующих им линий пересечения: p (p2) и q (q2).

Рис. 91

Итак, метод сфер применяется при построении линии пересечения в следующих случаях:

· Если пересекаются две поверхности вращения;

· Оси пересекаемых поверхностей совпадают и параллельны одной и той же плоскости проекций;

· Центры вписываемых сфер должны располагаться в точке пересечения осей пересекающихся поверхностей.

Преимуществом данного метода является возможность решения задачи только на одной плоскости проекций – П2.

Задача. Построить линию пересечения конуса с цилиндром, оси которых пересекаются и параллельны плоскости П2(рис. 92).

Решение:

Каждая вписанная сфера пересекает заданные поверхности конуса и цилиндра по окружностям, их проекции на П2 представлены прямыми линиями m и n, которые, в свою очередь, должны быть перпендикулярны соответствующим поверхностям вращения (конуса и цилиндра). Точка пересечения проекций построенных параллелей С2принадлежит проекции искомой линии пересечения конуса и цилиндра.

Рис. 92 Rminвписана в конус и пересекает цилиндр

Rmax - сфера радиусом от точки О2 до точки В2(расстояние до

наиболее удаленной точки линии пересечения).