Пересечение прямой с поверхностью или плоскостью

Задачи на определение точек пересечения прямой с поверхностью (плоскостью) являются основными позиционными задачами начертательной геометрии, а также при построении падающих теней.

Данные задачи решаются с помощью посредников, в качестве которых используются вспомогательные секущие плоскости. Вид посредника выбирается в зависимости от конкретных условий задачи.

Итак, предположим, задана поверхность ∑, в данном случае эллипсоид,, и прямая ℓ (рис. 94). Необходимо построить точки

пересечения ∑ и ℓ.

Рис. 94

Алгоритм решения задачи:

1. Через прямую ℓ проводят вспомогательную плоскость посредник Г. ℓ Î Г

2. Строится линия пересечения вспомогательной плоскости Г с заданной поверхностью ∑:

Г ∩ ∑ Þ m

3. Находятся точки пересечения А и В заданной прямой ℓ с построенной линией пересечения m:

ℓ ∩ m Þ А и В

4. Определяется видимость прямой ℓ.

Задача. Построить точку пересечения прямой ℓ с плоскостью общего положения, заданного ∆ АВС (рис. 95).

Решение

Алгоритм решения задачи:

1). Выбор посредника:

Q ^ П2 Þ QП2 Î ℓ След этой плоскости QП2 совпадает с ℓ2.

2). Построение линии пересечения Q с заданной плоскостью

∆ АВС:

Q ∩ ∑ Þ (12– 22) Þ (11 – 21) – ЛП

3). Определение точки пересечения прямой с плоскостью - т. К1

Þ т. К2:

ℓ ∩ (1 - 2) Þ т. К

4). Определение видимости прямой ℓ методом конкурирующих точек.

Рис. 95

Задача. Построить точки пересечения прямой n с поверхностью сферы (рис. 96).

Решение:

Алгоритм решения данной задачи такой же, как и предыдущей, т.е. через прямую n проводят секущую плоскость-посредник (Q), строят линию пересечения этой плоскости с поверхностью сферы (эллипс). Затем определяют точки пересечения построенного эллипса и прямой n, которые, в свою очередь, и являются точками пересечения прямой n с поверхностью сферы. Далее определяют видимость прямой n.

Рис. 96