Общий случай пересечения поверхностей

(экстремальных) – наивысшей, наинизшей и точек перехода видимости, отделяющих видимую часть линии пересечения от невидимой, находящуюся за очерковой образующей поверхности.

Рис. 87

Задача. Построить линию пересечения поверхностей (скатов крыши, стен) основного здания и пристройки (рис.88).

Решение:

Геометрический смысл задачи сводится к построению линии пересечения поверхностей двух призм.

Для построения точек 1,2,3,4 пересечения ребер Е и F (карниза пристройки) с поверхностью призмы (крыша основного здания), проведем вспомогательную секущую плоскость Σ (Σ П2^ П2) через точки Е, F. Линия K, L, M, N пересечения Σ с поверхностью крыши построена по точкам K, L, M, N пересечения ребер А,В, С, D этой крыши с плоскостью Σ.

Рис. 88

Точки пересечения горизонтальных проекций Е1и F1ребер с горизонтальной проекцией К1, L1, M1, N1линии пересечения являются горизонтальными проекциями 11, 21. 31, 41искомых точек. Фронтальные проекции этих точек совпадают с фронтальными проекциями Е2 и F2ребер.

Точки 5, 6, 7, 8 пресечения ребер крыши пристройки с крышей

основного здания построены аналогично (вспомогательная секущая плоскость Г (Г ^ П2).

Построение точек 9 и10 пересечения конька АС крыши основного

здания с крышей пристройки выполнено непосредственно, так как крыша пристройки является фронтально проецирующей призматической поверхностью.

Построение точки 11 пересечения карниза основного здания со стеной пристройки выполнено как построение точки пересечения

прямой с профильной плоскостью уровня.

Задача Построить линию пересечения поверхности прямого кругового конуса ∑ с плоскостью общего положения Г, заданной следами (рис. 89).

Решение:

Рис. 89

Определяем так называемые экстремальные (характерные) точки: а) наивысшая и наинизшая точки плоскости общего положения

лежат на линии наибольшего ската (ЛНС), которая должна быть всегда перпендикулярна горизонтали плоскости. Горизонтальный след плоскости является горизонталью, т.е. ЛНС должна быть

перпендикулярна Г П1; Ω – посредник. ΩП1 ^ ГП1.

· Через вершину конуса S1проводим ΩП1 ^ ГП1, на которой лежат наивысшая и наинизшая точки, принадлежащие конусу;

· Определили две образующие конуса (S – 1) и (S – 2);

· Плоскость посредник ΩП1 пересекает и след плоскости Г, строим линию пересечения М1N1 и М2N2;

Таким образом, определили:

(S1– 11) ∩ MN Þ точка 3 (наинизшая), (S1– 21) ∩ MN Þ т.4 (наивысшая).

б) точки перехода видимости.

Рассечем конус посредником – плоскостью фронтального уровня ФП1(т.е. ФП1≡ f 1), след которого проходит через ось симметрии конуса:

· Находим линию пересечения плоскости Ф с образующими конуса: (S1– 51) и (S1– 61);

· Плоскость посредник пересекает след плоскости Г по фронтали, через точку L строим фронталь;

· Нашли общие точки 7 и 8, которые и являются точками перехода видимости линии пересечения поверхностей.

Определим дополнительные промежуточные точки:

· Для этого используем плоскость горизонтального уровня: между точкамими 32и 42произвольно проведем фронтально проецирующую плоскость θ;

· Данная плоскость θ пересекает конус по окружности (параллели), которую в плоскости П1 и описываем;

· Линией пересечения плоскости θ с ГП2 является горизонталь, которую строим по точке К;

· Определили точки 91и 101, принадлежащие линии пересечения конуса и плоскости Г;

Итак, соединяем все найденные точки с учетом видимости. Таким образом, построили линию пересечения двух поверхностей, которая является эллипсом.

Данную задачу можно также решать способом преобразования

чертежа (заменой плоскости проекций П2на П4^ Г П1).

Задача Построить линию пересечения поверхностей призмы и усеченного кругового конуса (рис. 90).

Решение:

Рис. 90

Для построения линии пересечения поверхностей, используем вспомогательные секущие плоскости ∑П2, ГП2 и ψ П2.

· Итак, проводим плоскость ∑ через ребро призмы С;

· Строим линию пересечения посредника ∑ с поверхностью конуса, это параллель радиуса R;

· Призму эта же плоскость рассекает по ребру С;

· Определили общую точку – точка 1;

· Далее проводим вторую плоскость посредник – Г и выполняем те же действия, т.е. строим линии пересечения посредника с конусом (параллель) и с призмой (образующие N и L). Определили точки 2 и 3;

· Так же строятся точки 4, 5, 6, 7.

· Все найденные точки линии пересечения поверхностей соединяют между собой с учетом видимости.