![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Основные понятия
1. Пусть дан радиус-вектор , концом которого является точка A (x; y; z). Выражая этот вектор через проекции на оси координат, получим
. (1)
Пусть проекции вектора есть функции некоторого параметра t:
(2)
тогда формула (1) примет вид
или коротко
. (3)
При изменении t изменяются x, y, z – координаты точки А и, следовательно, изменяется вектор по величине и по направлению, поэтому вектор
называют вектор-функцией скалярного аргумента t.
Линию в пространстве, которую описывает точка А – конец вектора называют годографом этого вектора. Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями линии в пространстве, а уравнение (3) – векторным уравнением линии в пространстве.
2. Пусть ,
,
, тогда говорят, что вектор
есть предел вектора
, и пишут
. (4)
3. Производной вектор-функции по скалярному аргументу t называют предел отношения приращения вектор-функции
к приращению D t скалярного аргумента t, т. е.
(5)
и обозначают символом или
.
Таким образом, по определению
. (6)
4. Производная вектор-функции является новой вектор-функцией и называется производной первого порядка. Производная от производной
называется производной второго порядка и обозначается
или
, т. е.
. (7)
Аналогично определяются производные вектор-функций более высоких порядков. Производные вектор-функций порядка старше первого называются производными высших порядков.
5. Касательная к пространственной кривой определяется так же как и в случае плоской кривой. Так как производная – это вектор, направленный по касательной к пространственной кривой в точке касания M (x (t 0); y (t 0); z (t 0)), то уравнения касательной к кривой
в этой точке (при t = t 0) имеют вид:
. (8)
6. Так же как и в случае плоской кривой, прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к пространственной кривой в данной точке. Нормалей к данной пространственной кривой в данной точке можно провести бесчисленное множество. Все они лежат в плоскости, перпендикулярной к касательной прямой. Эта плоскость называется нормальной плоскостью. Уравнение нормальной плоскости к кривой в точке t = t 0 имеет вид:
. (9)
7. Пусть дана кривая, которая не пересекает саму себя и имеет касательную в каждой своей точке. Проведем две касательные к кривой в некоторых точках А и В и обозначим через j угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности дуги АВ. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та дуга, у которой угол смежности больше. С другой стороны, степень искривленности дуг различной длины не характеризуется только соответствующим углом смежности. Для этого используют кривизну линии, которая характеризует форму кривой, степень ее искривленности, изогнутости.
![]() |
Рис. 4
Кривизной пространственной кривой в точке А называется предел отношения угла смежности j к длине дуги АВ = Ds, когда длина этой дуги стремится к нулю (когда точка В приближается к точке А), т. е.
, (10)
где величина R, обратная кривизне линии в данной точке, называется радиусом кривизны в этой точке.
Кривизна пространственной линии в точке t = t 0 определяется по формуле:
, (11)
где ,
.
4.2. Контрольные задания
1. Дано комплексное число z. Требуется:
1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти .
1. . 2.
. 3.
.
4. . 5.
. 6.
.
7. . 8.
. 9.
.
10. .
2. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1. 1) при: а)
; б)
; в)
;
2) ; 3)
.
2. 1) при: а)
; б)
; в)
;
2) ; 3)
.
3. 1) при: а)
; б)
; в)
;
2) ; 3)
.
4. 1) при: а)
; б)
; в)
;
2) ; 3)
.
5. 1) при: а)
; б)
; в)
;
2) ; 3)
.
6. 1) при: а)
; б)
; в)
;
2) ; 3)
.
7. 1) при: а)
; б)
; в)
;
2) ; 3)
.
8. 1) при: а)
; б)
; в)
;
2) ; 3)
.
9. 1) при: а)
; б)
; в)
;
2) ; 3)
.
10. 1) при: а)
; б)
; в)
;
2) ; 3)
.
3. Задана функция y = f (x). Построить схематически график функции, вычислив пределы слева и справа в точке разрыва и предел на бесконечности.
1. . 2.
. 3.
.
4. . 5.
. 6.
.
7. . 8.
. 9.
.
10. .
4. Найти производные заданных функций.
1. 1) ; 2)
;
3) .
2. 1) ; 2)
;
3) .
3. 1) ; 2)
;
3) .
4. 1) ; 2)
;
3) .
5. 1) ; 2)
;
3) .
6. 1) ; 2)
;
3) .
7. 1) ; 2)
;
3) .
8. 1) ; 2)
;
3) .
9. 1) ; 2)
;
3) .
10. 1) ; 2)
;
3) .
5. Найти производные и
функции, заданной параметрически.
1. 2.
3.
4. 5.
6.
7. 8.
9.
10.
6. Провести полное исследование функции и построить ее график.
1. . 2.
. 3.
.
4. . 5.
. 6.
.
7. . 8.
. 9.
.
10. .
7. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии в точке t 0.
1. ,
.
2. ,
.
3. ,
.
4. ,
.
5. ,
.
6. ,
.
7. ,
.
8. ,
.
9. ,
.
10. ,
.
4.3. Пример решения контрольной работы
Задание 1. Дано комплексное число . Требуется:
1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти .
Решение. 1) Для записи комплексного числа в алгебраической форме z = x + yi умножим числитель и знаменатель дроби на выражение 1 + i, сопряженное знаменателю и упростим:
.
Для записи числа в тригонометрической форме z = r (cos j+sin j× i) найдем r и j:
,
.
Следовательно, получим .
2) Воспользуемся формулой Муавра:
, где k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Полагая k = 0, 1, 2, получим:
;
;
.
Это означает, что число имеет три различных значения.
Ответ: 1) – алгебраическая форма комплексного числа,
– тригонометрическая форма комплексного числа; 2)
,
,
.
Задание 2. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1)
2) ; 3)
.
Решение. 1) Данный предел в зависимости от значений вычисляется разными способами.
а) . Найдем значения функций, стоящих в числителе и в знаменателе дроби,
в точке
:
. Так как полученные значения конечны и отличны от нуля, то по теореме о пределе частного, учитывая непрерывность функций, предел равен значению частного в предельной точке:
;
б) . Найдем новые значения
и
в точке
:
. Так как числитель и знаменатель дроби оба равны нулю, то заданное отношение в точке
является неопределенностью вида
и применять теорему о пределе частного нельзя. Для нахождения предела в этом случае выделим в числителе и знаменателе критический множитель
, создающий неопределенность вида
при
. С этой целью найдем корни уравнений
и
, затем разложим квадратные трехчлены на линейные множители и после сокращения дроби на общий критический множитель
найдем предел оставшегося выражения, применяя теорему о пределе частного как в случае пункта а):
;
в) . При
имеем
и
, т. е. заданное отношение при
является неопределенностью вида
и теорему о пределе частного применять нельзя. Для нахождения в этом случае предела дроби опять выделим в числителе и знаменателе критический множитель, который представляет собой старшую степень переменной
. В данном случае это есть
. После сокращения дроби на критический множитель
применим теорему о пределе частного и следующие равенства, известные из теории пределов:
,
,
.
Получим:
.
2) Найдем значения функций и
, стоящих в числителе и знаменателе дроби, в точке
:
,
. Следовательно, заданное отношение
при
является неопределенностью вида
. Для нахождения предела отношения выделим в числителе и в знаменателе критический множитель
, создающий неопределенность, и сократим на него дробь. С этой целью умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное знаменателю
и используем формулу сокращенного умножения разности квадратов:
:
.
По теореме о пределе корня , получим:
.
3) . Найдем значения функций
и
в точке
:
и
. Следовательно, заданное отношение представляет собой при
неопределенность вида
. Вычислим этот предел, применяя формулу первого замечательного предела:
и равенство
, вытекающее из непрерывности в точке
функции
. С этой целью преобразуем заданный предел следующим образом:
.
Ответ: 1), а) ; б)
; в)
. 2)
. 3) 3.
Задание 3. Задана функция . Построить схематически график функции, вычислив пределы слева и справа в точке разрыва и предел на бесконечности.
Решение. Рассмотрим точку х = 1. Найдем пределы слева и справа функции в данной точке:
,
.
Так как предел справа равен бесконечности, то х = 1 – точка разрыва второго рода.
Предел функции на бесконечности равен:
.
Строим схематически график функции , используя полученные результаты (рис. 5).
Рис. 5
Задание 4. Найти производные заданных функций.
1) ; 2)
;
3) .
Решение. 1) .
Используем правило дифференцирование суммы и правила дифференцирования сложной функции вида
, где
, а также таблицу производных. Получим:
.
2) .
Используем правило дифференцирование суммы и правила дифференцирования сложных функций вида
,
где , а также таблицу производных. Получим:
.
3) .
Используем правило дифференцирования суммы , правило дифференцирования произведения
и правила дифференцирования сложных функций вида
,
где , а также таблицу производных. Получим:
.
Ответ: 1) ; 2)
; 3)
.
Задание 5. Найти производные и
функции
заданной параметрически.
Решение. Производная функции
, заданной параметрически, вычисляется по формуле:
.
Вторую производную найдем по формуле:
.
Ответ: ,
.
Задание 6. Провести полное исследование функции и построить ее график.
Решение. 1) Найдем область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.
Функция определена на всей числовой оси, кроме точки , т. е.
. В каждой точке области определения функция непрерывна. Точка
есть точка разрыва функции, т. к. знаменатель функции в этой точке равен нулю, а числитель отличен от нуля.
2) Выясним четность, нечетность и периодичность функции.
, т. е.
. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция непериодична, т. к. , где Т – некоторое действительное число.
3) Найдем асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные):
|
Так как точка оси Ox есть точка разрыва функции, то прямая линия
, перпендикулярная оси Ox, есть вертикальная асимптота графика. Исследуем поведение графика функции вблизи вертикальной асимптоты по односторонним пределам функции. Возьмем слева от точки
близкое значение, например,
и вычислим в нем значение функции и ее знак:
.
Так как это значение отрицательно, и функция слева от точки непрерывна, то она сохраняет знак и
.
Теперь возьмем справа от точки близкое значение, например,
:
.
Так как это значение положительно, и функция справа от точки непрерывна, то при переходе к пределу функция сохраняет знак и
.
Таким образом, слева от точки функция отрицательна, а справа от точки
– положительна и имеет односторонние пределы, равные бесконечности. Такая точка называется точкой разрыва второго рода (или точкой бесконечного разрыва функции);
б) Горизонтальные асимптоты.
Для нахождения горизонтальной асимптоты нужно найти предел функции при , раскрывая неопределенность вида
. Если существует конечный предел
, то прямая, определяемая уравнением
, есть горизонтальная асимптота графика. Если же этот предел равен бесконечности, то горизонтальной асимптоты нет. Найдем предел:
.
Предел равен бесконечности, значит горизонтальной асимптоты нет;
в) Наклонные асимптоты.
Наклонная асимптота имеет уравнение прямой линии с угловым коэффициентом вида , где
,
. Если
, то наклонной асимптоты не существует.
Найдем оба указанных предела для заданной функции:
,
.
Таким образом, график имеет наклонную асимптоту .
4) Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции.
Находим сначала первую производную функции:
.
Так как точка , в которой
не существует, не принадлежит области определения функции, то критическими точками первого рода являются лишь точки, в которых
или
, т. е.
.
Критические точки и точка разрыва разбивают ось Ox на 4 интервала монотонности функции. По знаку производной
в этих интервалах определяем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции. Полученные данные заносим в табл. 1.
Таблица 1
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | + | – | не сущ. | – | + | ||
![]() | ä | –8 max | æ | не сущ. | æ | min | ä |
5) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.
Находим сначала вторую производную функции:
.
Так как точка не принадлежит области определения функции и
, то критических точек второго рода нет.
Точка разрыва разбивают числовую ось Ox на 2 интервала, в которых по знаку второй производной определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика. Полученные данные заносим в табл. 2.
Таблица 2
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | – | не сущ. | + |
![]() | Ç выпуклый | не сущ. | È вогнутый |
6) Находим точки пересечения графика функции с осями координат, решая две системы уравнений.
С осью Ox: А (1; 0) – точка пересечения графика с осью Ox.
С осью Oy: В (0; 1) – точка пересечения графика с осью Oу.
7) Используя результаты исследования, строим график функции в такой последовательности: а) строим вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту
, подписываем их; б) изображаем максимум функции в точке
и минимум в точке
; в) наносим на осях точки А (1; 0) и В (0; 1) пересечения графика с осями координат; г) нанесенные на плоскость точки соединяем гладкими линиями с учетом табл. 1 и 2 и поведения функции вблизи асимптот (рис. 6).
Задание 7. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии в точке t 0 = 1.
Решение. 1)Для составления уравнений касательной в точке t 0 = 1 воспользуемся формулой . Имеем:
,
,
;
,
;
,
;
,
.
Таким образом, получим: .
![]() ![]() |
Рис. 6
2) Запишем уравнение нормальной плоскости в точке t 0 = 1 по формуле и упростим:
или
или
.
3) Для нахождения кривизны линии в точке t 0 = 1 применим формулу , где
,
. Имеем:
;
;
,
;
,
.
Таким образом, окончательно получим: .
Ответ: 1) – уравнения касательной в точке t 0 = 1; 2)
– уравнение нормальной плоскости в точке t 0 = 1.
4.4. Вопросы для самопроверки
1. Основные понятия о комплексных числах. Геометрическое изображение комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел.
2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формулы Муавра.
4. Действия над комплексными числами в показательной форме.
5. Предел переменной. Окрестность точки. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, ограниченные функции. Их свойства.
7. Основные теоремы о пределах функций. Неопределенности.
8. Теорема о сжатой функции. Первый замечательный предел.
9. Основные понятия о числовых последовательностях.
10. Число е. Второй замечательный предел.
11. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Свойства непрерывных функций.
12. Свойства функций непрерывных на отрезке.
13. Определение производной функции в точке и на интервале.
14. Геометрический и механический смысл производной.
15. Дифференцируемость и непрерывность функций. Дифференциал функции.
16. Формулы и правила дифференцирования функций.
17. Дифференцирование сложной функции, неявной функции и функции, заданной параметрически.
18. Производные и дифференциалы высших порядков.
19. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.
20. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
21. Асимптоты графика функции.
22. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
23. Полное исследование функции и построение ее графика.
24. Понятие вектор-функции скалярного аргумента.
25. Как определяется предел и производная вектор-функции скалярного аргумента?
26. Понятие кривизны плоской линии. Формула для ее вычисления.
27. Касательная и нормальная плоскость пространственной линии в точке. Их уравнения.
Список литературы
1. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу [и др.]. – М.: Рольф, 2001. – 576 с.
2. Методические указания для студентов специальности 060800 «Экономика и управление на предприятии (строительство)» заочной формы обучения по дисциплине «Высшая математика» / ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ; [сост. Е.В. Абрамов, Е.Д. Илларионова, Е.Ю. Волченко]. – Волжский: ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ, 2010. – 95 с.
3. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. / Д. Т. Письменный. – М.: Рольф, 2001. – 288 с.
4. Рябушко, А. П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 1 / А. П. Рябушко [и др.]. – Мн.: Выш. шк., 1992
План уч.-метод. докум. 2012 г., поз. № 20
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2331 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!