Применения производной

32. Если на некотором промежутке , то на этом промежутке функция постоянна; если , то функция возрастает; если , то функция убывает.

33. Если функция непрерывна в точке и при переходе через точку первая производная меняет знак с «+» на «–», то в точке функция имеет максимум; если первая производная меняет знак с «–» на «+», то в точке функция имеет минимум.

34. График дифференцируемой на интервале (a; b) функции y = f (x) называется выпуклым, если на этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 3, а) и называется вогнутым, если он расположен выше любой своей касательной (рис. 3, б).

Если на некотором промежутке , то на этом промежутке функция вогнута; если , то функция выпукла.

35. Если функция непрерывна в точке и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка – точка перегиба.

а) б)

Рис. 3

36. Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке нужно:

1) найти критические точки – точки, в которых производная функции , не существует или равна бесконечности;

2) найти значения функции в критических точках, принадлежащие отрезку и на концах отрезка;

3) выбрать среди полученных чисел наибольшее или наименьшее.

37. Для исследования функции и построения ее графика пользуются следующей схемой:

1) определить область определения функции, найти точки разрыва;

2) проверить четность, нечетность, периодичность графика;

3) определить наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот;

4) найти производную , определить интервалы возрастания , убывания и критические точки ( или не существует) функции, найти экстремумы;

5) найти вторую производную , определить интервалы выпуклости вверх , выпуклости вниз и точки перегиба графика;

6) если необходимо, найти дополнительные точки;

7) используя всю полученную информацию, строят график функции .