Дифференциальное исчисление функций одной переменной. 1. Пусть функция определена на интервале (a; b)

Основные понятия

1. Пусть функция определена на интервале (a; b). Производной функции в точке x ₀ называется предел отношения приращения функции D f (x ₀) = f (x ₀ + D x) – f (x ₀) в точке x ₀ к приращению аргумента D x, когда , т. е. .

2. Производная от функции в точке имеет геометрический смысл углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции в точке (рис. 2).

Рис. 2

Уравнение касательной: .

Уравнение нормали: .

3. Производная от пути по времени при прямолинейном движении материальной точки по закону S = S (t) имеет механический смысл мгновенной скорости в момент времени t = t ₀, т. е. .

4. Выражение называется дифференциалом функции y = f (x) в точке x = x ₀ и обозначается символом , где по определению обозначено dx = D x.

Дифференциал в произвольной точке х равен: .

5. Дифференциал функции y = f (x) имеет геометрический смысл части приращения функции в точке х ₀ при перемещении не по графику функции, а по графику касательной, проведенной в точке (х ₀; f (x ₀)) (рис. 2).

Таблица производных

6. . 7. , a – любое.

8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

16. . 17. .

18. . 19. .