Элементы теории пределов

Основные понятия

1. Постоянное число a называется пределом переменной x, если для любого сколь угодно малого числа d > 0 можно указать такое значение х, что все последующие значения будут удовлетворять неравенству
| x – a | < d. Обозначение: lim x = a или x ® a.

Неравенство | x – a | < d перепишем в виде –d < x – a < d или
a – d < x < a + d. Интервал (a – d; a + d) называется окрестностью точки x = a радиуса d.

2. Постоянное число l называется пределом функции y = f (x) при x ® a, если для всех значений х, достаточно близких к а, значение f (x) сколь угодно мало отличается от l. Обозначение: или . (1)

Определение включает так же случаи, когда числа а и l будут заменены символами «¥», «–¥», «+¥».

В определении не требуется, чтобы функция y = f (x) была определена в самой точке x = a.

3. Если существует предел (1) и x < a, то его называют пределом слева и обозначают . (2) Аналогично, если существует предел (1) и x > a, то его называют пределом справа и обозначают . (3)

Пределы (2) и (3) называются односторонними пределами.

Если a = 0, то вместо x ® 0 – 0 и x ® 0 + 0 пишут соответственно x ® –0 и x ® +0.

4. Связь односторонних пределов с пределом (1) выражается следующей теоремой: для того, чтобы существовал предел (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство f (a – 0) = f (a + 0).

5. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x = х ₀, кроме, быть может, самой точки х ₀. Функция y = f (x) называется бесконечно малой при x ® х ₀, если и называется бесконечно большой при x ® х ₀, если .

Здесь и в дальнейшем под символом х ₀ подразумевается либо точка а либо ¥. Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции в случае односторонних пределов.

6. Если a(x) – бесконечно малая функция при x ® х ₀ и a(x) ¹ 0 при x ¹ х ₀, то обратная величина есть бесконечно большая функция при x ® х ₀. И наоборот, если a(x) – бесконечно большая, то – бесконечно малая функция.

При решении задач удобно пользоваться следующей символической записью. Пусть число a > 0, тогда , , , , , .