J. Однородные системы

Система вида

, (17)

где _, называется однородной. Она всегда совместна, поскольку набор значений неизвестных удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение называется тривиальным, в остальных случаях:

1. однородная система будет иметь ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных;

2. если в однородной системе число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевое решение;

3. однородная система, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю;

4. пусть наборы и являются решениями однородной системы, тогда их линейная комбинация – также решение однородной системы (17).

Из числа решений однородной системы (17) всегда можно построить конечную линейно независимую систему решений, причем такую, что всякое другое решение системы (17) будет линейной комбинацией решений, входящих в эту построенную систему. Такую систему решений называют фундаментальной.

Теорема 2. Если ранг , то всякая фундаментальная система решений однородной системы (17) будет состоять из решений.