Теорема (об условиях равенства нулю произведения числа на вектор)

Произведение числа на вектор равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда число равно нулю или вектор равен нулевому вектору.

Доказательство. Пусть число равно нулю или вектор является нулевым. Покажем, что . Пусть вначале . Справедливо . В силу единственности нулевого вектора отсюда следует . Если , то рассмотрим равенства . Снова, в силу единственности нулевого вектора, следует .

Обратно, пусть . Покажем, что или . Доказательство проведем методом от обратного. Предположим, что равенство истинно, а заключение или ложное, т.е. справедливо и . Тогда по предположению и уже доказанной первой части нашей теоремы получим .

С другой стороны, по нашему предположению и аксиомам имеем . Полученное противоречие доказывает вторую часть теоремы.

Из доказанных выше теорем выведем еще два следствия.

Д ля любого вектора из противоположный вектор равен .

Действительно, Отсюда, в силу единственности противоположного вектора, получаем доказательство следствия.

5. Для любого вектора противоположный вектор к противоположному равен исходному вектору, т.е. .

Действительно, , что и утверждается в следствии.