Доказательство. Напишем формулу разложения определителя по первой строке

Напишем формулу разложения определителя по первой строке

.

Вид этой формулы не зависит от того, какие конкретно значения имеют элементы первой строки. Поместим в первую строку элементы любой другой строки. Тогда мы получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 6 равен нулю. Кроме того, в этом случае алгебраические дополнения, которые остались в формуле разложения соответствующими первой строке, не будут соответствовать той строке, которую мы поместили на место первой строки. Таким образом, мы получили, что сумма произведений элементов любых строк, кроме первой, на алгебраические дополнения элементов первой строки, равно нулю. Аналогично, используя теорему о разложении определителя по любой строке (столбцу), доказывается теорема для остальных строк и столбцов.