Определители матриц и их свойства

Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет числом; если элементы матрицы функции, то и определитель будет функцией и так далее. Обозначается определитель любой квадратной матрицы одним из следующих символов . Определяющее правило составления определителя введем индуктивно, то есть будем выражать значение определителя матрицы размера (определитель порядка ) через определители меньших порядков.

Определитель матрицы положим равным элементу . Так, например, .

Определителем порядка назовем число, которое будем находить по правилу разложения по первой строке матрицы размера :

.

В этой и во всех последующих формулах минором элемента называется определитель порядка , полученный вычеркиванием из исходной матрицы строки с номером и столбца с номером . Отсюда определитель второго порядка находится по правилу

,

т. е. составляется разность произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали.

Так , .

Определитель третьего порядка по общей формуле сначала выражается через определители второго порядка и далее определители первого порядка:

=

= =

= .

Если в последнем выражении определителя третьего порядка в одну группу собрать произведения со знаком плюс, а во вторую – произведения со знаком минус, то мы получим формулу раскрытия определителя по правилу Саррюса:

=

(определитель третьего порядка равен сумме произведений его элементов, находящихся на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали, минус сумму произведений элементов, находящихся на побочной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали).

Вычислим по правилу Саррюса следующий определитель третьего порядка

=

= .

В теории определителей важную роль играет следующая основная теорема, которую мы приводим без доказательства. Определим, предварительно, алгебраическое дополнение любого элемента по формуле

.

Как следует из определяющей формулы, алгебраическое дополнение может отличаться от минора только знаком.