Множество числовых функций

Рассмотрим множество числовых функций, определенных на некотором промежутке. Любым двум функциям и из этого множества можно поставить в соответствие их сумму , которая также является функцией и, очевидно, принадлежит рассматриваемому множеству функций. Каждому числу и функции ставится в соответствие функция , которая также принадлежит исходному множеству функций. Роль нулевого элемента играет функция тождественно равная нулю на всем промежутке, а противоположным элементом для будет функция . Справедливость аксиом для функций следует из того, что эти аксиомы истинны для чисел, а операции сложения функций и умножения их на число выполняются при каждом значении аргумента из промежутка как обычные числовые операции. Таким образом, можно утверждать, что множество числовых функций образует векторное пространство.