Теорема (о существовании и единственности разности элементов)

Для любых двух векторов линейного пространства, существует такой единственный вектор из , что .

Доказательство. Покажем, что такой вектор существует. Возьмем и убедимся, что этот элемент удовлетворяет уравнению .

Действительно, .

Докажем, что этот вектор единственный. Возьмем другой вектор из , удовлетворяющий нашему уравнению , и выполним следующие преобразования:

.

Таким образом, любой вектор , удовлетворяющий определяющему уравнению, равен , что и доказывает единственность такого вектора.

Приведем еще, без подробного доказательства, несколько важных следствий из доказанной теоремы и аксиом линейного пространства.

1. Существует единственный нулевой элемент , равный для любого из что следует из аксиом и доказанной теоремы.

2. Существует единственный противоположный элемент , равный для любого из , что следует из аксиом и доказанной теоремы.

3. Соотношения или влекут равенство для любых из , что следует из аксиомы и доказанной теоремы.