Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы



Пусть форма A(x, x) в базисе e = {e1, e2, …, en} определяется матрицей A(e) = (aij),

A(x, x) = , и пусть D1 = а11, D2 = , …, Dn = угловые миноры и определители матрицы (aij). Тогда справедливо утверждение:

Теорема 11.4 (критерий Сильвестра).

1. Для того чтобы квадратичная форма A(x, x) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства: D1 > 0, D2 > 0, …, Dn > 0.

2. Для того чтобы квадратичная форма A(x, x) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем D1 < 0.

Пример 11.2. Выяснить, является ли квадратичная форма A(x, x) = 5 + + 5x3 + 4x1x2 – 8x1x3 – 4x2x3 положительно определенной?

Решение. Составим матрицу этой квадратичной формы:

M =

Вычислим ее угловые миноры:

D1 = 5 > 0,

D2 = = 5 – 4 = 1 > 0,

D3 = = 25 + 16 + 16 – 16 – 20 – 20 = 1 > 0.

Все угловые миноры положительны, следовательно, квадратичная форма положительно определенна.

Пример 11.3. Выяснить, является ли квадратичная форма A(x, x) = 3 + + 5x3 + 4x1x2 – 8x1x3 – 4x2x3 положительно определенной?

Решение. Составим матрицу этой квадратичной формы:

M =

Вычислим ее угловые миноры:

D1 = 3 > 0,

D2 = = 3 – 4 = –1 < 0,

D3 = = 15 + 16 + 16 – 16 – 12 – 20 = –1 < 0.

Вывод. Квадратичная форма A(x, x) не является положительно определенной, т. к. D2 < 0, и отрицательно определенной не является, т. к. D1 > 0, т.о. она знакопеременная.





Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 14985 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2022 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...