Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы

Пусть форма A (x, x) в базисе e = { e ₁, e ₂, …, e_n } определяется матрицей A (e) = (a_ij),

A (x, x) = , и пусть D₁ = а ₁₁, D₂ = , …, D _n = угловые миноры и определители матрицы (a_ij). Тогда справедливо утверждение:

Теорема 11.4 (критерий Сильвестра).

1. Для того чтобы квадратичная форма A (x, x) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства: D₁ > 0, D₂ > 0, …, D _n > 0.

2. Для того чтобы квадратичная форма A (x, x) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем D₁ < 0.

Пример 11.2. Выяснить, является ли квадратичная форма A (x, x) = 5 + + 5 x ₃ + 4 x ₁ x ₂ – 8 x ₁ x ₃ – 4 x ₂ x ₃ положительно определенной?

Решение. Составим матрицу этой квадратичной формы:

M =

Вычислим ее угловые миноры:

D₁ = 5 > 0,

D₂ = = 5 – 4 = 1 > 0,

D₃ = = 25 + 16 + 16 – 16 – 20 – 20 = 1 > 0.

Все угловые миноры положительны, следовательно, квадратичная форма положительно определенна.

Пример 11.3. Выяснить, является ли квадратичная форма A (x, x) = 3 + + 5 x ₃ + 4 x ₁ x ₂ – 8 x ₁ x ₃ – 4 x ₂ x ₃ положительно определенной?

Решение. Составим матрицу этой квадратичной формы:

M =

Вычислим ее угловые миноры:

D₁ = 3 > 0,

D₂ = = 3 – 4 = –1 < 0,

D₃ = = 15 + 16 + 16 – 16 – 12 – 20 = –1 < 0.

Вывод. Квадратичная форма A (x, x) не является положительно определенной, т. к. D₂ < 0, и отрицательно определенной не является, т. к. D₁ > 0, т.о. она знакопеременная.