Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Дана квадратичная форма (2) A (x, x) = , где x = (x ₁, x ₂, …, x_n). Рассмотрим квадратичную форму в пространстве R ³, то есть x = (x ₁, x ₂, x ₃), A (x, x) = + + + + + + + + + = + + + 2 + 2 + + 2 (использовали условие симметричности формы, а именно а ₁₂ = а ₂₁, а ₁₃ = а ₃₁, а ₂₃ = а ₃₂). Выпишем матрицу квадратичной формы A в базисе { e }, A (e) = . При изменении базиса матрица квадратичной формы меняется по формуле A (f) = C^t × A (e)× C, где C – матрица перехода от базиса { e } к базису { f }, а C^t – транспонированная матрица C.

Определение 11.12. Вид квадратичной формы с диагональной матрицей называется каноническим.

Итак, пусть A (f) = , тогда A '(x, x) = + + , где x '₁, x '₂, x '₃ – координаты вектора x в новом базисе { f }.

Определение 11.13. Пусть в n -мерном векторном пространстве V выбран такой базис f = { f ₁, f ₂, …, f_n }, в котором квадратичная форма имеет вид

A (x, x) = + + … + , (3)

где y ₁, y ₂, …, y_n – координаты вектора x в базисе { f }. Выражение (3) называется каноническим видом квадратичной формы. Коэффициенты l₁, λ₂, …, λ _n называются каноническими; базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом.

Замечание. Если квадратичная форма A (x, x) приведена к каноническому виду, то, вообще говоря, не все коэффициенты l _i отличны от нуля. Ранг квадратичной формы равен рангу ее матрицы в любом базисе.

Пусть ранг квадратичной формы A (x, x) равен r, где r ≤ n. Матрица квадратичной формы в каноническом виде имеет диагональный вид. A (f) = , поскольку ее ранг равен r, то среди коэффициентов l _i должно быть r, не равных нулю. Отсюда следует, что число отличных от нуля канонических коэффициентов равно рангу квадратичной формы.

Замечание. Линейным преобразованием координат называется переход от переменных x ₁, x ₂, …, x_n к переменным y ₁, y ₂, …, y_n, при котором старые переменные выражаются через новые переменные с некоторыми числовыми коэффициентами.

x ₁ = α₁₁ y ₁ + α₁₂ y ₂ + … + α_{1 n}y_n,

x ₂ = α₂₁ y ₁ + α₂₂ y ₂ + … + α_{2 n} y_n,

………………………………

x ₁ = α _{n 1} y ₁ + α _{n 2} y ₂ + … + α _nny_n.

Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное линейное преобразование координат, то вопрос о приведении квадратичной формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат.

Теорема 11.2 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма A (x, x), заданная в n -мерном векторном пространстве V, с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. (Метод Лагранжа) Идея этого метода состоит в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждой переменной до полного квадрата. Будем считать, что A (x, x) ≠ 0 и в базисе e = { e ₁, e ₂, …, e_n } имеет вид (2):

A (x, x) = .

Если A (x, x) = 0, то (a_ij) = 0, то есть форма уже каноническая. Формулу A (x, x) можно преобразовать так, чтобы коэффициент a ₁₁ ≠ 0. Если a ₁₁ = 0, то коэффициент при квадрате другой переменной отличен от нуля, тогда при помощи перенумерации переменных можно добиться, чтобы a ₁₁ ≠ 0. Перенумерация переменных является невырожденным линейным преобразованием. Если же все коэффициенты при квадратах переменных равны нулю, то нужные преобразования получаются следующим образом. Пусть, например, a ₁₂ ≠ 0 (A (x, x) ≠ 0, поэтому хотя бы один коэффициент a_ij ≠ 0). Рассмотрим преобразование

x ₁ = y ₁ – y ₂,

x ₂ = y ₁ + y ₂,

x_i = y_i, при i = 3, 4, …, n.

Это преобразование невырожденное, так как определитель его матрицы отличен от нуля = = 2 ≠ 0.

Тогда 2 a ₁₂ x ₁ x ₂ = 2 a ₁₂(y ₁ – y ₂)(y ₁ + y ₂) = 2 – 2 , то есть в форме A (x, x) появятся квадраты сразу двух переменных.

Итак, станем считать, что в равенстве (2) a ₁₁ ≠ 0. Выделим в выражении (2) группу слагаемых, которые содержат x ₁. Получим:

A (x, x) = + 2 + 2 + . (4)

Преобразуем выделенную сумму к виду:

A (x, x) = a ₁₁ , (5)

при этом коэффициенты a_ij меняются на . Рассмотрим невырожденное преобразование

y ₁ = x ₁ + + … + ,

y ₂ = x ₂,

………

y_n = x_n.

Тогда получим

A (x, x) = . (6).

Если квадратичная форма = 0, то вопрос о приведении A (x, x) к каноническому виду решен.

Если эта форма не равна нулю, то повторяем рассуждения, рассматривая преобразования координат y ₂, …, y_n и не меняя при этом координату y ₁. Очевидно, что эти преобразования будут невырожденными. За конечное число шагов квадратичная форма A (x, x) будет приведена к каноническому виду (3).

Замечание 1. Нужное преобразование исходных координат x ₁, x ₂, …, x_n можно получить путем перемножения найденных в процессе рассуждений невырожденных преобразований: [ x ] = A [ y ], [ y ] = B [ z ], [ z ] = C [ t ], тогда [ x ] = A × B ×[ z ] = A × B × C ×[ t ], то есть [ x ] = M ×[ t ], где M = A × B × C.

Замечание 2. Пусть A (x, x) = A (x, x) = + + … + , где l _i ≠ 0, i = 1, 2, …, r, причем l₁ > 0, λ₂ > 0, …, λ _q > 0, λ _{q +1} < 0, …, λ _r < 0.

Рассмотрим невырожденное преобразование

y ₁ = z ₁, y ₂ = z ₂, …, y_q = z_q, y_{q +1} = z_{q +1}, …, y_r = z_r, y_{r +1} = z_{r +1}, …, y_n = z_n. В результате A (x, x) примет вид:
A (x, x) = + + … + – – … – , который называется нормальным видом квадратичной формы.

Пример 11.1. Привести к каноническому виду квадратичную форму A (x, x) = 2 x ₁ x ₂ – 6 x ₂ x ₃ + 2 x ₃ x ₁.

Решение. Поскольку a ₁₁ = 0, используем преобразование

x ₁ = y ₁ – y ₂,

x ₂ = y ₁ + y ₂,

x ₃ = y ₃.

Это преобразование имеет матрицу A = , то есть [ x ] = A [ y ] получим A (x, x) = 2(y ₁ – y ₂)(y ₁ + y ₂) – 6(y ₁ + y ₂) y ₃ + 2 y ₃(y ₁ – y ₂) =

= 2 – 2 – 6 y ₁ y ₃ – 6 y ₂ y ₃ + 2 y ₃ y ₁ – 2 y ₃ y ₂= 2 – 2 – 4 y ₁ y ₃ – 8 y ₃ y ₂.

Поскольку коэффициент при не равен нулю, можно выделить квадрат одного неизвестного, пусть это будет y ₁. Выделим все члены, содержащие y ₁.

A (x, x) = 2( – 2 y ₁ y ₃) – 2 – 8 y ₃ y ₂ = 2( – 2 y ₁ y ₃ + ) – 2 – 2 – 8 y ₃ y ₂ = 2(y ₁ – y ₃)² – 2 – 2 – 8 y ₃ y ₂.

Выполним преобразование, матрица которого равна B.

z ₁ = y ₁ – y ₃, Þ y ₁ = z ₁ + z ₃,

z ₂ = y ₂, Þ y ₂ = z ₂,

z ₃ = y ₃; Þ y ₃ = z ₃.

B = , [ y ] = B ×[ z ].

Получим A (x, x) = 2 – 2 – – 8 z ₂ z ₃. Выделим члены, содержащие z ₂. Имеем A (x, x) = 2 – 2( + 4 z ₂ z ₃) – 2 = 2 – 2( + 4 z ₂ z ₃ + 4 ) + + 8 – 2 = 2 – 2(z ₂ + 2 z ₃)² + 6 .

Выполняем преобразование с матрицей C:

t ₁ = z ₁, Þ z ₁ = t ₁,

t ₂ = z ₂ + 2 z ₃, Þ z ₂ = t ₂ – 2 t ₃,

t ₃ = z ₃; Þ z ₃ = t ₃.

C = , [ z ] = C ×[ t ].

Получили: A (x, x) = 2 – 2 + 6 канонический вид квадратичной формы, при этом [ x ] = A [ y ], [ y ] = B [ z ], [ z ] = C [ t ], отсюда [ x ] = ABC [ t ];

A × B × C = × × = . Формулы преобразований следующие

x ₁ = t ₁ – t ₂ + t ₃,

x ₂ = t ₁ + t ₂ – t ₃,

x ₃ = t ₃.