Процесс ортогонализации

Теорема 8.12. Во всяком n -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть а ₁, а ₂, …, а_n – произвольный базис евклидова пространства Е. Доказательство заключатся в описании алгоритма построения ортогонального базиса по данному базису. Этот алгоритм называется процессом ортогонализации. Пусть b ₁ = a ₁, b ₁ ≠ 0 (т. к. а ₁ ≠ 0). Положим b ₂ = a ₂ + a₁ b ₁. Подберем коэффициент a₁ так, чтобы b ₂ ≠ 0 стал ортогонален b ₁;

(b ₁, b ₂) = 0 Þ (b ₁, a ₂ + a₁ b ₁) = 0 Þ (a ₂ + a₁ b ₁, b ₁) = 0 Þ (a ₂, b ₁) + a₁(b ₁, b ₁) = 0, т. к. b ₁ ≠ 0, то (b ₁, b ₁) ≠ 0 Þ a₁ = . Вектор b ₂ не равен нулю, поскольку он является ненулевой линейной комбинацией линейно независимых векторов a ₁ и a ₂.

Положим, далее b ₃ = a ₃ + b₁ b ₁ + b₂ b ₂. Подберем b₁ и b₂ так, чтобы b ₃ ≠ 0 оказался ортогонален b ₁ и b ₂, для чего должны выполняться условия (b ₁, b ₃) = 0, (b ₂, b ₃) = 0. Выполняя преобразования, получим, что b₁ = , b₂ = . Вектор b ₃ не равен нулю, поскольку он является ненулевой линейной комбинацией векторов а ₁, а ₂, а ₃.

Продолжая этот процесс, получим систему векторов b ₁, b ₂, …, b_n, и так как эти векторы ненулевые и попарно ортогональны, то по теореме 8.11 они линейно независимы, а значит образуют ортогональный базис.

Нормируя ортогональный базис b ₁, b ₂, …, b_n, получим ортонормированный базис n -мерного евклидова пространства:

e ₁ = × b ₁, e ₂ = × b ₂, …, e_n = × b_n.

Пример 8.12. Применить процесс ортогонализации к векторам а ₁ = (2, –2, –2, 2), а ₂ = (3, –1, –1, 3), а ₃ = (2, –2, 0, 4).

Решение. Это задание можно сформулировать так: по данному базису подпространства построить ортогональный базис.

b ₁ = а ₁, b ₁ = (2, –2, –2, 2);

b ₂ = a ₂ + a₁ b ₁, a₁ = = = = –1. Тогда b ₂ = a ₂ – b ₁ = (1, 1, 1, 1).

b ₃ = a ₃ + b₁ b ₁ + b₂ b ₂, b₁ = = = –1, b₂ = = = –1. Тогда b ₃ = a ₃ – b ₁ – b ₂ = (–1, –1, 1, 1).