Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался как значение направленной величины (положительные или отрицательные температуры, передвижение в противоположных направлениях, прибыль и долг и т. д.). Однако еще в 16 веке многие математики не признавали отрицательных чисел. Только с введением координатной прямой и координатной плоскости отчетливо проявился смысл отрицательных чисел, и они стали такими же «равноправными» и понятными, как и натуральные числа. Аналогично обстоит дело и комплексными числами. Смысл их отчетливо проявляется при введении их геометрической интерпретации.

Геометрическое представление комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу z = a + b × i ставится в соответствие точка М (а, b) плоскости в прямоугольной системе координат (рис. 1.9, а), таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а мнимая – ординату точки. Или вместо точки можно поставить в соответствие вектор с координатами (а, b) (рис. 1.9, б). Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек координатной плоскости.

Ясно, что действительное число a + 0× i = а изображается точкой на оси Ох, а чисто мнимое число 0 + b × i, где b ≠ 0 – точкой на оси Oy. Поэтому ось Oy называется мнимой, а ось Ох – действительной.

Сопряженные комплексные числа a + b × i и
a – b × i изображаются точками симметричными относительно оси Ох, а противоположные комплексные числа a + b × i и – a – b × i – точками симметричными относительно начала координат (рис. 1.10).