Показательная форма комплексного числа

Из математического анализа известно, что e = , e – иррациональное число. Эйлер в 1740 г. опубликовал формулу, которая дает возможность записать комплексное число в показательной форме:

e^{i j} = cos j + i × sin j – формула Эйлера.

Тогда z = r (cos j + i × sin j) = r × e^{i j} – показательная форма записи комплексного числа, где r = | z |, j = arg z.

К комплексным числам в показательной форме применимы все правила действия над степенями. Пусть z ₁ = r ₁× , z ₂ = r ₂× , тогда

z ₁× z ₂ = r ₁× r ₂× ,

= ,

zⁿ = rⁿ × e^{in j},

= , где k = 0, 1, …, n – 1.

Пример 1.17. Представить комплексное число z = + i в показательной форме.

Решение. Имеем z = + i Þ a = , b = 1 Þ r = = = 2; т. к. a > 0, то j = = = . Тогда z = + i = r × e^{i j} = 2× .