Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Тригонометрическая форма комплексного числа



Вектор можно задать не только координатами в прямоугольной системе координат, но и длиной и углом, который он образует с некоторым фиксированным направлением (полярная система координат), т. е. задать вектор полярными координатами (рис. 1.11).

Определение 1.21. Длина вектора, соответствующего комплексному числу z (или расстояние от начала системы координат до точки, изображающей комплексное число) называется модулем комплексного числа и обозначается | z | = r.

Определение 1.22. Радианная мера угла, образованного этим вектором с положительным направлением действительной оси Ох называется аргументом комплексного числа z и обозначается Аrg z = j.

Другими словами, аргумент комплексного числа – это угол между положительной полуосью Ох и лучом Oz.

Число ноль изображается нуль-вектором, для него модуль равен 0, аргумент нуля не определен. Для ненулевого комплексного числа z аргумент определяется с точностью до 2p k, где k – любое целое число.

Главным значение аргумента называется такое значение j, что
j Î (–p, p]. Часто главное значение аргумента обозначается аrg z. Главное значение аргумента обратного комплексного числа отличается знаком аргумента исходного, т. е. аrg = – аrg (z).

Для комплексного числа z = a + bi установим связь между числами a, b и r, j, т. е. между декартовыми и полярными координатами.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK (рис. 1.11), по теореме Пифагора имеем: OM 2 = OK 2 + MK 2 Þ r 2 = a 2 + b 2 Þ r = , a = r × cos j, b = r × sin j. Тогда z = a + b × i = r × cos j + r × sini = r (cos j + i × sin j).

Определение 1.23. Выражение z = r (cos j + i × sin j) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Формулы перехода от алгебраической формы комплексного числа z = a + b × i к тригонометрической следующие:

r = , sin j = = , cos j = = .

Если a ≠ 0, то tgj = . Можно найти аргумент числа z, пользуясь правилом:

a > 0 Þ j = ,

a < 0 Þ j = + p,

a = 0 Þ 1) b > 0 Þ j = , 2) b < 0 Þ j = – .

Определение 1.24. r 1(cos j1 + i × sin j1) = r 2(cos j2 + i × sin j2) Û r 1 = r 2 и j1 = j2 + 2p k, k Î Z.

Пример 1.12. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: z 1 = i, z 2 = –3 i, z 3 = –8,
z 4 = –2(cos i × sin ),

Решение. а) z 1 = i Þ a = , b = –1. Найдем модуль и аргумент данного числа: r = = = 2; т. к. a = > 0, то j = = = – .

Окончательно получаем тригонометрическую форму z 1 = i =
= r (cos j + i × sin j) = 2(cos + i × sin ).

б) z 2 = –3 i Þ a = 0, b = –3. Найдем модуль и аргумент данного числа: r = = = 3; т. к. a = 0 и b < 0, то j = – .

Получаем z 2 = –3 i = r (cos j + i × sin j) = 3(cos + i × sin ).

в) z 3 = –8 Þ a = –8, b = 0. Найдем модуль и аргумент данного числа: r = = = 8; т. к. a = –8 < 0, то j = + p =
= + p = + p = 0 + p = p.

Тогда z 3 = –8 = r (cos j + i × sin j) = 8(cos p + i × sin p).

г) z 4 = –2(cos i × sin ) = –2 cos + 2 i × sin Þ a = –2 cos , b = 2 sin . Найдем модуль и аргумент данного числа: r = = = 2; т. к. a = –2 cos < 0, то j = + p = + p = – + p = – + p = .

Тогда z 4 = –2(cos i × sin ) = r (cos j + i × sin j) = 2(cos + i × sin ).





Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 619 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...