![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Вектор можно задать не только координатами в прямоугольной системе координат, но и длиной и углом, который он образует с некоторым фиксированным направлением (полярная система координат), т. е. задать вектор
полярными координатами (рис. 1.11).
Определение 1.21. Длина вектора, соответствующего комплексному числу z (или расстояние от начала системы координат до точки, изображающей комплексное число) называется модулем комплексного числа и обозначается | z | = r.
Определение 1.22. Радианная мера угла, образованного этим вектором с положительным направлением действительной оси Ох называется аргументом комплексного числа z и обозначается Аrg z = j.
Другими словами, аргумент комплексного числа – это угол между положительной полуосью Ох и лучом Oz.
Число ноль изображается нуль-вектором, для него модуль равен 0, аргумент нуля не определен. Для ненулевого комплексного числа z аргумент определяется с точностью до 2p k, где k – любое целое число.
Главным значение аргумента называется такое значение j, что
j Î (–p, p]. Часто главное значение аргумента обозначается аrg z. Главное значение аргумента обратного комплексного числа отличается знаком аргумента исходного, т. е. аrg = – аrg (z).
Для комплексного числа z = a + bi установим связь между числами a, b и r, j, т. е. между декартовыми и полярными координатами.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK (рис. 1.11), по теореме Пифагора имеем: OM 2 = OK 2 + MK 2 Þ r 2 = a 2 + b 2 Þ r = , a = r × cos j, b = r × sin j. Тогда z = a + b × i = r × cos j + r × sin j× i = r (cos j + i × sin j).
Определение 1.23. Выражение z = r (cos j + i × sin j) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Формулы перехода от алгебраической формы комплексного числа z = a + b × i к тригонометрической следующие:
r = , sin j =
=
, cos j =
=
.
Если a ≠ 0, то tgj = . Можно найти аргумент числа z, пользуясь правилом:
a > 0 Þ j = ,
a < 0 Þ j = + p,
a = 0 Þ 1) b > 0 Þ j = , 2) b < 0 Þ j = –
.
Определение 1.24. r 1(cos j1 + i × sin j1) = r 2(cos j2 + i × sin j2) Û r 1 = r 2 и j1 = j2 + 2p k, k Î Z.
Пример 1.12. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: z 1 = – i, z 2 = –3 i, z 3 = –8,
z 4 = –2(cos – i × sin
),
Решение. а) z 1 = – i Þ a =
, b = –1. Найдем модуль и аргумент данного числа: r =
=
= 2; т. к. a =
> 0, то j =
=
= –
.
Окончательно получаем тригонометрическую форму z 1 = – i =
= r (cos j + i × sin j) = 2(cos + i × sin
).
б) z 2 = –3 i Þ a = 0, b = –3. Найдем модуль и аргумент данного числа: r = =
= 3; т. к. a = 0 и b < 0, то j = –
.
Получаем z 2 = –3 i = r (cos j + i × sin j) = 3(cos + i × sin
).
в) z 3 = –8 Þ a = –8, b = 0. Найдем модуль и аргумент данного числа: r = =
= 8; т. к. a = –8 < 0, то j =
+ p =
= + p =
+ p = 0 + p = p.
Тогда z 3 = –8 = r (cos j + i × sin j) = 8(cos p + i × sin p).
г) z 4 = –2(cos – i × sin
) = –2 cos
+ 2 i × sin
Þ a = –2 cos
, b = 2 sin
. Найдем модуль и аргумент данного числа: r =
=
= 2; т. к. a = –2 cos
< 0, то j =
+ p =
+ p = –
+ p = –
+ p =
.
Тогда z 4 = –2(cos – i × sin
) = r (cos j + i × sin j) = 2(cos
+ i × sin
).
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 654 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!