Свойства операций над множествами. Свойства операций объединения, пересечения и дополнения иногда называют законами алгебры множеств

7. поглощение:(A Ç B) È A = A, (A È B) Ç A = A;

8. инволютивность (свойство двойного дополнения): = A;

9. законы де Моргана [4]: , ;

10. закон включения: А Ì B Û Ì ;

11. свойства дополнения: А È = U, А Ç = Æ;

12. выражение для разности: А \ В = А Ç .

Другие соотношения между множествами могут быть выведены на основе вышеприведенных свойств по правилам алгебры логики.

Справедливость каждого из этих свойств можно доказать, используя утверждение 1.1 и замечание 1.3. В качестве примера приведем доказательство дистрибутивности объединения относительно пересечения: A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C).

Пусть X = A È (B Ç C), Y = (A È B) Ç (A È C). Надо доказать, что множества X и Y равны, то есть X Í Y и Y Í X. Множество X Í Y, если каждый элемент множества X принадлежит множеству Y. Пусть x Î X Þ (x Î A) или (x Î B Ç C) тогда

· если x Î A, то x Î A È B и x Î A È C, следовательно, x Î Y;

· если x Î B Ç C, то x Î B и x Î C Þ x Î A È B и x Î A È C, следовательно x Î Y.

Из произвольности элемента x следует, что X Í Y.

Предложим теперь, что y Î Y; то есть y Î (A È B) Ç (A È C), тогда y Î A È B и y Î A È C. Возможны два случая:

· если y Ï A, то y Î B и y Î C, значит y Î B Ç C; следовательно, y Î A È (B Ç C) Þ y Î X;

· если y Î A, то y Î A È (B Ç C) = X.

Из произвольности элемента y вытекает, что Y Í X.

Таким образом, получили равенство множеств X = Y.