Декартовое произведение (или прямое произведение)

Определение 1.14. Упорядоченной парой (или парой) (a, b) называется два элемента a, b взятые в определенном порядке. Пары (a ₁, b ₁) и (a ₂, b ₂) равны тогда и только тогда, когда a ₁ = a ₂ и b ₁ = b ₂.

Определение 1.15. Декартовым произведение множеств А и В называется множество А ´ В, состоящее из всех упорядоченных пар (a, b), где a Î A и b Î B.

То есть, по определению, A ´ B = {(x, y)| x Î А и y Î В }.

Определение 1.16. Произведение А ´ A называется декартовым квадратом.

Пример 1.7. Пусть A = { a, b, c } и B = {5, 6}. Тогда

A ´ B = {(a, 5), (a, 6), (b, 5), (b, 6), (c, 5), (c, 6)};

B ´ A = {(5, a), (6, a), (5, b), (6, b), (5, c), (6, c)};

A ´ A = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b) (c, c),}; B ´ B = {(5, 5), (6, 6), (5, 6), (6, 5)}.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию прямого произведения двух числовых множеств A и B – множество всех точек координатной плоскости Oxy с координатами (x, y) такими, что x Î A, а y Î B. Тогда для двух заданных числовых множеств можно наглядно изображать их прямое произведение и, обратно, по изображению прямого произведения двух множеств определять их элементы.

Пример 1.8. Изобразить на координатной плоскости Oxy множество A ´ B, если:

а) A = {3, 5, 7}, B = {2, 4};

б) A = {3, 5, 7}, B = [2; 4], то есть B = { х | х Î R, 2 £ х £ 4};

в) A = [3, 7], B = [2; 4].

Решение. Множество A ´ B изображено на рис. 1.7.

Пример 1.9. По изображению прямого произведения A ´ B (рис. 1.8) найти множества A и B.

Решение.

а) A = {1, 3, 4, 5}, B = {3}; б) A = [1;5], B = (1;2]; в) A = R, B = [2;5).

Пример 1.10. Пусть A = { х | х Î N, 2 < х £ 6}, B = { х | х Î N, 1 < х < 4}, C = { х | х Î N, х ² – 4 = 0}. Из каких элементов состоят множества (A Ç B) È (B È C), C ´ B, B ´ C?

Решение. Перепишем множества А, В и С, перечислив их элементы: A = {3, 4, 5, 6}, B = {2, 3}, C = {2}. Тогда A Ç B = {3}, B È C = {2, 3}, а значит (A Ç B) È (B È C) = {2, 3}; C ´ B = {(2, 2), (2, 3)} и B ´ C = {(2, 2), (3, 2)}.