Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Сложение и вычитание удобнее производить над комплексными числами в алгебраической форме, а умножение и деление – в тригонометрической форме.

1. Умножений. Пусть даны два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме: z ₁ = r ₁(cos j₁ + i × sin j₁) z ₂ = r ₂(cos j₂ + i × sin j₂).

z ₁× z ₂ = r ₁× r ₂(cos j₁× cos j₂ – sin j₁× sin j₂) + i ×(cos j₁× sin j₂ + sin j₁× cos j₂) = = r ₁× r ₂(cos (j₁ + j₂) + i × sin (j₁ + j₂)).

Итак, модуль | z ₁× z ₂| = r ₁× r ₂, аргумент arg (z ₁× z ₂) = arg z ₁ + arg z ₂.

Пример 1.13. Для z ₁ = 2(cos + i × sin ) и z ₂ = 3(cos + i × sin ) найти их произведение z ₁× z ₂.

Решение. Применяем формулу для нахождения произведения двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. z ₁× z ₂ = 2×3(cos ( + ) + i × sin ( + )) = 6(cos + i × sin ) – тригонометрическая форма произведения чисел z ₁ и z ₂ или в алгебраической форме z ₁× z ₂ = 6 i.

2. Деление. = = × =

= × =

= ×(cos (j₁ – j₂) + i × sin (j₁ – j₂))

Итак, модуль | | = , аргумент arg () = arg z ₁ – arg z ₂.

Пример 1.14. Для z ₁ = 10(cos 45° + i × sin 45°) и z ₂ = 5(cos 60° + i × sin 60°) найти их частное от деления .

Решение.

= (cos (45° – 60°) + i × sin (45° – 60°)) = 2(cos (–15°) + i × sin (–15°)) – тригонометрическая форма частного чисел z ₁ и z ₂. Заметим, что если данное выражение записать в виде равносильного выражения
2(cos 15° – i × sin 15°), то это не будет уже тригонометрической формой записи комплексного числа.