Возведение в степень

Если z = r (cos j + i × sin j), то zⁿ = rⁿ (cos (n j) + i × sin (n j)), где n Î Z. Данная формула называется формулой Муавра[9].

Пример 1.15. Для z = – i, найти z ⁴.

Решение. Воспользуемся формулой Муавра, но для начала надо это комплексное число записать в тригонометрической форме. В примере 1.12 мы это уже находили z = – i = 2(cos + i × sin ). Тогда
z ⁴ = ( – i)⁴ = (2(cos + i × sin ))⁴ = 2⁴(cos + i × sin ) =
= 16(cos + i × sin ) – тригонометрическая форма результата возведения в четвертую степень данного комплексного числа. Найдем также и алгебраическую форму записи числа z ⁴. z ⁴ = 16(cos + i × sin ) = 16(cos – i × sin ) = 16( – i × ) =
= –8 – 8 × i.

4. Извлечение корня n -ой степени.

Можно показать, что каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет ровно n корней n -й степени.

Если z = r (cos j + i × sin j), то

= =

(cos + i × sin ), где k = 0, 1, …, n – 1.

Пример 1.16. Найти .

Решение. Пусть z = 16, найдем сначала тригонометрическую форму данного комплексного числа. Имеем z = 16 Þ a = 16, b = 0 Þ r = = = 16; т. к. a = 16 > 0, то j = = = = = 0. Тогда z = 16 = r (cos j + i × sin j) = 16(cos 0 + i × sin 0).

Применяем формулу для нахождения корня n -ой степени.

= = = (cos + i × sin ) =

= 2(cos + i × sin ), где k = 0, 1, 2, 3. Найдем все четыре корня:

k = 0 Þ w₀ = 2(cos + i × sin ) = 2 (cos 0 + i × sin 0) = 2,

k = 1 Þ w₁ = 2(cos + i × sin ) = 2(cos + i × sin ) = 2(0 + i ×1) = 2 i,

k = 2 Þ w₂ = 2(cos + i × sin ) = 2(cos p + i × sin p) = 2(–1 + i ×0) = –2,

k = 3 Þ w₃ = 2(cos + i × sin ) = 2(cos + i × sin ) = 2(0 – i)) = –2 i.

Замечание. Геометрически все n значений корней n -ой степени из комплексного числа r (cos j + i × sin j) изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен . Если эти точки соединить, то в результате получится правильный n -угольник.