![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если z = r (cos j + i × sin j), то zn = rn (cos (n j) + i × sin (n j)), где n Î Z. Данная формула называется формулой Муавра[9].
Пример 1.15. Для z = – i, найти z 4.
Решение. Воспользуемся формулой Муавра, но для начала надо это комплексное число записать в тригонометрической форме. В примере 1.12 мы это уже находили z = – i = 2(cos
+ i × sin
). Тогда
z 4 = ( – i)4 = (2(cos
+ i × sin
))4 = 24(cos
+ i × sin
) =
= 16(cos + i × sin
) – тригонометрическая форма результата возведения в четвертую степень данного комплексного числа. Найдем также и алгебраическую форму записи числа z 4. z 4 = 16(cos
+ i × sin
) = 16(cos
– i × sin
) = 16(
– i ×
) =
= –8 – 8 × i.
4. Извлечение корня n -ой степени.
Можно показать, что каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет ровно n корней n -й степени.
Если z = r (cos j + i × sin j), то
=
=
(cos
+ i × sin
), где k = 0, 1, …, n – 1.
Пример 1.16. Найти .
Решение. Пусть z = 16, найдем сначала тригонометрическую форму данного комплексного числа. Имеем z = 16 Þ a = 16, b = 0 Þ r = =
= 16; т. к. a = 16 > 0, то j =
=
= =
= 0. Тогда z = 16 = r (cos j + i × sin j) = 16(cos 0 + i × sin 0).
Применяем формулу для нахождения корня n -ой степени.
=
=
=
(cos
+ i × sin
) =
= 2(cos + i × sin
), где k = 0, 1, 2, 3. Найдем все четыре корня:
k = 0 Þ w0 = 2(cos + i × sin
) = 2 (cos 0 + i × sin 0) = 2,
k = 1 Þ w1 = 2(cos + i × sin
) = 2(cos
+ i × sin
) = 2(0 + i ×1) = 2 i,
k = 2 Þ w2 = 2(cos + i × sin
) = 2(cos p + i × sin p) = 2(–1 + i ×0) = –2,
k = 3 Þ w3 = 2(cos + i × sin
) = 2(cos
+ i × sin
) = 2(0 – i)) = –2 i.
Замечание. Геометрически все n значений корней n -ой степени из комплексного числа r (cos j + i × sin j) изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен . Если эти точки соединить, то в результате получится правильный n -угольник.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 667 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!