Лабораторная работа №4. Компьютерный анализ функции

Вычисление значения функций y=sin x, y=cos x разложением в ряд Тейлора-Маклорена.

Каждый человек умеет теперь пользоваться калькулятором. Зададимся вопросом, каким образом калькулятор вычисляет числовые значения функций: синус, косинус, экспонента и др.? Тут надо иметь в виду, что главное в калькуляторе - микропроцессор, который, умеет выполнять только сложение и некоторые вспомогательные операции, а с помощью сложения уже вычитает, умножает и складывает. А больше он ничего не умеет, у него нет врожденного свойства вычислять синус, косинус, логарифм, используя арифметические действия.

Вычисление значений функций в общем случае выполняется с помощью разложения функций в ряд Маклорена,

который является частным случаем ряда Тейлора

.

Вычисление может быть выполнено с заданной точностью ɛ в зависимости от числа слагаемых ряда. При этом всегда полезно оценить сходимость рассматриваемого ряда. Областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞).

Разложение в ряд функции y=sin x:

При вычислении значений функции имеет значение число взятых членов ряда. Чем больше членов ряда – тем лучше приближение.

Если я взять первые три члена ряда

график полученной функции будет только отдаленно напоминать синусоиду.

Если же составить многочлен из первых ста членов ряда: и начертить его график, то он будет практически совпадать с синусоидой.

График бесконечного многочлена есть в точности синусоида.

Иными словами, ряд сходится к функции y=sin x при любом значении x. Чем больше слагаемых ряда берется для вычисления значения в заданной точке х, тем выше точность результата, т.е., лучше совпадение с синусоидой.

Т.к. для знакочередующихся рядов остаток ряда меньше первого из отбрасываемых членов, для вычисления суммы членов ряда с заданной точностью ɛ >0 достаточно просуммировать те его члены, модуль которых

. Остальные можно отбросить.

Ряды sin x и cos x – знакочередующиеся. Известно, что для таких рядов модуль остатка меньше первого члена этого остатка

При вычислении нужно учесть такое количество первых членов, чтобы остаток не превышал заданной погрешности: ɛ.

Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно выполнить условие

.

Решение задачи удобно выполнять в Microsoft Excel. Для выполнения операции сравнения используется функция Excel Если(Лог_параметр;Истина;Ложь). Если утверждение верно, получаем 1, если ложно – 0.

Задание.

Вычислить приближенно с заданной точностью значение функции при данном значении аргумента с помощью разложения функции в степенной ряд.

I. Вычислить значение sin x при x=0, 476 с точностью ɛ =0,00001. Указать количество членов ряда, необходимых для достижения заданной точности.

II. Вычислить значение sin x при x=2, 476 с точностью ɛ =0,00001. Указать количество членов ряда, необходимых для достижения заданной точности.

III. Вычислить значение cos x при x=0, 238 с точностью ɛ =0,00001. Указать количество членов ряда, необходимых для достижения заданной точности.

IV. Вычислить значение cos x при x=3, 476 с точностью ɛ =0,00001. Указать количество членов ряда, необходимых для достижения заданной точности.

Выполнение работы.

1. Запуск программы Microsoft Excel.

2. Выбор активного листа.

Параметры: - лист: «Лист1». Результат выполнения представлен на рисунке 1.

Рис. 1.

3. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: A1; - данные: «n».

Параметры: - ячейка: B1; - данные: «n1».

Параметры: - ячейка: C1; - данные: «Члены ряда».

Параметры: - ячейка: D1; - данные: «sin x».

Параметры: - ячейка: E1; - данные: «Сравнение».

Параметры: - ячейка: F1; - данные: «Здесь используем функцию».

Параметры: - ячейка: H1; - данные: «Заданная точность».

Результат выполнения представлен на рисунке 2.

Рис.2

4. Автозаполнение - нумерация.

Параметры: - ячейка 1: «A2»; - ячейка 2: «A3»;

- конечная ячейка: «A11»; - данные 1: «1»;

Рис.3

5. Запись разложения функции в ряд.

Параметры: - ячейка А14; -формульный редактор - Microsoft Equation 3.0.

Результат выполнения представлен на рисунке 4.

Рис.4

6. Занесение значения точности.

Параметры: - ячейка: H2; - данные: «0,00001».

7. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: B2; - данные: «ФАКТР(А2)».

8. Автозаполнение.: -- конечная ячейка: «В11».

9. Нахождение членов ряда.

Параметры: - ячейка: С2; - данные: «0,476».

Параметры: - ячейка: D2; - данные: «=-C2^3/B5)».

Результат представлен на рис.5 Рис.5.

1. Нахождение частичной суммы.

Параметры: - ячейка: С5; - данные: «=СУММ(C2:C4)».

11. Нахождение частичной суммы.

Параметры: - ячейка: С7; - данные: «=СУММ(C2:C6)».

1. Определение количества членов ряда.

Параметры: - ячейка: Е1; - данные: «=ЕСЛИ(ABS(C2)<$H$2;1;0)». Автозаполнение: - ячейки «Е2-Е6».

13. Вычисление значения функции sin x с помощью встроенной функции.

Параметры: ячейка F2- данные: «SIN(С2)».

Результат выполнения в пакете Exsel представлен на рисунке 6.

Рис.6.

14. Сделать выводы о количестве слагаемых, необходимых для получения результата с заданной точностью.

15. Выполнить задания II, III, IV.

Литература

1. http://mathprofi.ru/razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady.html.
2. http://www.machinelearning.ru.