Проверка качественных характеристик выборки

Будем рассматривать критерии однородности.

Любой статистически критерий проверки гипотез пред­ставляет собой средство измерения. Поэтому пользоваться им следует также квалифицированно, как и любым техническим измерительным средством. По крайней мере, следует понимать, что он измеряет, особенности применения, к каким ре­зультатам можно прийти, с какими ошибками это связано.

С необходимостью решения задач проверки гипотез о принадлежно­сти двух выборок случайных величин одной и той же генеральной совокуп­ности постоянно сталкиваются при анализе случайных ошибок средств из­мерений, при статистическом управлении качеством процессов. Такая задача естественно возникает при поверке средств измерений, когда пытаются убе­диться в том, что закон распределения случайных ошибок измерений не пре­терпел существенных изменений по истечении некоторого интервала вре­мени.

Среди множества статистических критериев, параметрических и непа­раметрических, используемых для проверки однородности, выделяют три группы критериев: для проверки гипотез о средних (о математических ожи­даниях и медианах), для проверки гипотез о характеристиках рассеяния (о дисперсиях и размахах), для проверки гипотез о законах распределения.

У исследователя, стоящего перед проблемой решения таких задач возникает множество вопросов, так как оста­ется неясным, в каких случаях применение какого критерия оказывается бо­лее предпочтительным.

Такие вопросы возникают относительно критериев проверки гипотез о средних, где мы имеем множество критериев (параметрических и непара­метрических), но не имеем четких указаний и сведений о преимуществе тех или иных. Например, о степени их устойчивости к отклонениям от стан­дартных пред­положений, о результатах сравнения мощности критериев. От­сутствие ука­заний не позволяет в конкретной ситуации выбрать наиболее мощный кри­терий. По поводу некоторых критериев проверки гипотез о сред­них имеется информация об относительной устойчивости распреде­ле­ний статистик к отклонениям наблюдаемого закона от нормального [1,2]. По от­ношению к другим критериям это требует дополнительных исследований.

Критерии проверки гипотез о дисперсиях наоборот весьма чувстви­тельны к любым отклонениям от предположений, в условиях которых они были получены. И также отсутствует или противоречива информация отно­сительно мощности соответствующих критериев [3,4].

Неотклонение проверяемых гипотез о равенстве средних и (или) ра­венстве дисперсий еще не говорит о принадлежности выборок одной и той же генеральной совокупности. Это говорит лишь о возможном равенстве чи­словых характеристик, но не законов распределения. Выбор же критериев проверки гипотез относительно законов распределения, соответствующих двум выборкам, более скромен. Как правило, на практике используется либо критерий Смирнова, либо критерий Лемана-Розенблатта. Исследуем распределений стати­стик и мощности критериев Смирнова и Лемана-Розенблатта при ограничен­ных объемах выборок, уточним объемы, начиная с которых можно ре­ально пользоваться предельными распределениями, выясним характер альтернатив, относительно которых тот или иной критерий имеет преимуще­ство в мощности.

Задача проверки однородности двух выборок формулируется сле­дующим образом. Пусть имеется две упорядоченные по возрастанию вы­борки размера m и n:

и .

Для определенности обычно полагают, что . Проверяется гипо­теза о том, что две выборки извлечены из одной и той же генеральной сово­купности, т.е. при любом x.